Последняя аксиома, также называемая схемой индукции, выражает тот факт, что все натуральные числа получаются на основе единицы повторяющимся применением функции последующего элемента. Если свойство справедливо для числа 1 и мы можем быть уверены, что оно будет распространяться на каждое число, выраженное последующим элементом, то это свойство будет справедливо для всех натуральных чисел. Следствие из теоремы Гёделя состоит в том, что если учитывать условие алгоритмической проверки всех рассуждений, то будут существовать арифметические истины, недоказуемые на основе этих аксиом. Таким образом, арифметика будет неполной.

С 1920 по 1930 год Гильберт опубликовал ряд статей, в которых постепенно излагал свою программу и показывал, как ее можно осуществить на практике. Другие математики увлеклись этой идеей и внесли значительный вклад в ее осуществление. Сам Гёдель в 1929 году, защищая докторскую диссертацию, показал, что можно установить методы рассуждения, правильность которых может быть проверена алгоритмически. В том же году польский математик Мойжеш Пресбургер представил ряд аксиом, непротиворечивость которых можно было проверить алгоритмически. Они позволяли доказать хотя и не все арифметические истины, но их значительную часть. Это были две важные победы формальной программы.

В то же время интуиционизм терял авторитет среди математиков. Многие из тех, кто симпатизировал общим идеям Брауэра, начинали чувствовать, что их реализация на практике, предполагавшая отказ от рассуждений из области теории множеств, принесет больше потерь, чем преимуществ. Формальная программа, в свою очередь, предлагала альтернативу, которая была допустима с философской точки зрения и осуществима на практике.

К 1930 году стало ясно, что Гильберт победил. Оставалось только помочь интуиционистам сохранить лицо и достойно сдаться. В Кёнигсберге, родном городе Гильберта (выбор, конечно, не случаен), был организован конгресс, посвященный основаниям математики. Он проводился с пятницы 5 сентября по воскресенье 7 сентября; на понедельник было назначено награждение Гильберта званием почетного гражданина Кёнигсберга. Все было готово к великой победе учителя.

В пятницу представляли свои работы менее значимые, неизвестные математики. В субботу выступали более значимые, среди них был Ханс Хан, руководитель докторской диссертации Гёделя. Брауэр, который враждовал с Гильбертом по причинам, выходившим далеко за рамки академической науки, не присутствовал; интуиционистскую точку зрения излагал Аренд Гейтинг. Гильберт, имевший проблемы со здоровьем, также отсутствовал, и его главным представителем был его ученик Джон фон Нейман. На конгрессе присутствовал и представитель логицизма, философ Рудольф Карнап. В воскресенье конгресс закрылся пленарным заседанием, на котором были подведены итоги точек зрения интуиционизма, формализма и логицизма. Резюме подвел Гейтинг. Завершая выступление, он сказал, что отношения между интуиционизмом и формализмом наконец-то прояснились и больше нет необходимости продолжать борьбу между этими школами: «Если выполнится программа Гильберта, даже интуиционисты примут бесконечность с распростертыми объятиями». Интуиционисты сдались. Гильберт победил.

Какое значение могут иметь жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты, которые были выработаны интуиционистами, по сравнению с могущественным размахом современной математики.

Давид Гильберт об интуиционистской школе

Все очевидцы говорят, что именно в этот момент неизвестный молодой математик скромно поднял руку, прося слова. Он был худым, носил очки и, похоже, очень нервничал. Этот молодой человек, Курт Гёдель, объявил, что доказал следующую теорему: если требуется, чтобы доказательства проверялись механически, то невозможно задать аксиомы арифметики, которые позволили бы доказать все истины теории; всегда будут истинные утверждения, которые будет невозможно доказать на основе предложенных аксиом. (Сегодня это утверждение известно как первая теорема Гёделя о неполноте.) Более того, если предложенные аксиомы позволяют доказать довольно обширную часть арифметических истин, то невозможно проверить их непротиворечивость механическими методами. (Это вторая теорема Гёделя о неполноте.) Другими словами, программа Гильберта абсолютно нереализуема.

Мы можем представить себе сцену, которой на самом деле не было, но которая отражает состояние духа формалистов в тот воскресный вечер. Представим себе, что Гильберт звонит по телефону Джону фон Нейману, чтобы спросить его, как все прошло, и тот отвечает: «У меня одна хорошая новость и одна плохая. Хорошая — интуиционисты сдались. Плохая — Гёдель говорит, что и мы проиграли».

Как Гёделю удалось доказать свою теорему? Как можно доказать, что, независимо от предлагаемых аксиом, всегда будет существовать утверждение истинное, но недоказуемое на их основе? Доказательство Гёделя, один из самых больших интеллектуальных подвигов XX века, будет центральной темой следующей главы.

В первой теореме Гёделя о неполноте говорится, что при любом заданном множестве аксиом арифметики всегда будет существовать истинное арифметическое высказывание, которое невозможно доказать на основе этих аксиом, если пользоваться только теми методами доказательства, которые удовлетворяют программе Гильберта. Доказательство этой теоремы, по сути, состоит в том, чтобы получить самореферентное высказывание, которое говорит о себе: «Я недоказуемо».

После окончания Первой мировой войны Австро-Венгерская империя была разделена на части. Некоторые из них, такие как Австрия, Венгрия, Югославия и Чехословакия, стали отдельными странами. Другие вошли в состав уже существовавших государств, таких как Италия или Румыния. После этого раздела город Брно, в котором жила семья Гёделя, был присоединен к Чехословакии. Курт вспоминал, что с этого момента его отец всегда чувствовал себя австрийцем в изгнании. Возможно, это ощущение в какой-то степени повлияло на решение послать обоих сыновей учиться в Венский университет, чтобы они хотя бы таким образом могли вернуться на родину.

Гёдель поступил в Венский университет в 1923 году с намерением изучать физику. Можно предположить, что врожденное любопытство с самого раннего детства привело его к вопросам о том, почему вещи, подброшенные вверх, падают, или почему некоторые предметы плавают, а другие нет, или почему светит Солнце, — все они связаны с физикой. Однако основная причина, по которой он решил посвятить себя этой науке, по- видимому, сформировалась, когда Гёделю было 15 лет, после того как он прочитал о теории цвета Гёте и о противостоянии подходу Ньютона.

Очень мало известно о личной жизни Гёделя в студенческие годы. Он едва не женился на женщине, которая была на десять лет его старше, но родители воспротивились, и Курт отказался от своего намерения. Нет информации о других личных отношениях или близкой дружбе. По-видимому, юноша посвящал большую часть времени учебе. Но в университете его намерение посвятить себя физике вскоре пропало. В те годы в Вене преподавал Филипп Фуртвенглер, немецкий математик, специализировавшийся на высшей арифметике. Он родился в 1869 году в Эльце (Германия), в 1896-м защитил докторскую диссертацию в Геттингене под руководством Феликса Клейна, одного из самых выдающихся математиков конца XIX века.

Занятия Филиппа Фуртвенглера отличались блеском и ясностью. Число студентов, которые записывались на его курс, было таким большим (оно доходило до 400 человек одновременно), что ученики были вынуждены делиться на две группы, и урок проводился дважды, для каждой из них. У Фуртвенглера был поперечный паралич, и он со своего кресла на колесах диктовал помощнику, что тот должен написать на доске.