Третий пример — отрывок из письма 1831 года немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855):

«Я протестую против употребления бесконечной величины как чего-то завершенного, что в математике никогда недопустимо. Бесконечность не нужно понимать буквально, когда речь идет собственно о пределе, к которому сколь угодно близко приближаются определенные отношения, когда другие принимаются неограниченно возрастающими».

Гаусс говорил, что бесконечность — это только величина (всегда конечная), которой позволено расти без ограничений, и ее нельзя понимать как нечто завершенное. Снова мы наблюдаем отказ от актуальной бесконечности.

Это только три примера из многих, о которых можно было бы упомянуть. Однако всего через 40 лет после этого письма Георг Кантор вынужден был ввести в математику и философию монстра, много раз отвергнутого, — актуальную бесконечность.

Сочинение Архимеда «Послание к Эратосфену о методе», или «Метод механических теорем», считалось утерянным в веках.

По различным упоминаниям было известно, что в нем описывались физические рассуждения, которые позволили предположить геометрические теоремы, затем доказанные со всей логической строгостью в других книгах автора. Однако точное содержание работы не было известно до 1906 года, когда, к всеобщему удивлению, совершенно случайно в Стамбуле была обнаружена ее копия.

Это был палимпсест, то есть рукопись, нанесенная на пергамент поверх другого текста.

К счастью, первоначальный слой стерли не полностью, и оригинальную работу частично удалось восстановить. Процесс возобновился в начале XXI века, когда группе экспертов, располагающих современными приборами для освещения и анализа изображений, удалось продвинуться в восстановлении «Метода...». Часть их открытий означает, что Архимед работал с актуальной бесконечностью. Эта история рассказана в детективе Ревьеля Нетца и Уильяма Ноэля «Кодекс Архимеда». Согласно полученным данным, чтобы сравнить объем двух тел, Архимед представлял их разрезанными на бесконечное количество полосок бесконечно малой ширины и делал вывод о том, что оба тела равны, если можно установить пары между полосками, образующими эти тела. Это предполагает не только работу с актуальной бесконечностью, но и допущение сравнения между двумя бесконечностями посредством установления пар между их компонентами, что сделал Кантор в конце XIX века. Если эти открытия подтвердятся, придется переписать часть истории бесконечности и признать, что Архимед ранее Кантора использовал актуальную бесконечность.

Архимед. Работа Жана Гужона. Фасад Лувра, Париж.

С 1867 по 1869 год Кантор в Берлине проводил свои первые исследования под руководством Леопольда Кронекера (спустя несколько лет они стали врагами). В то время Берлин был одним из самых мощных математических центров в мире (наряду с Геттингеном и Парижем). Первые исследовательские работы Кантора не слишком впечатлили его преподавателей, которые даже считали, что он никогда не станет выдающимся математиком. В 1870 году Кантору пришлось переехать из центра науки, Берлина, на периферию. Молодой и неизвестный ученый начал собственные исследования в Галльском университете.

Когда математик проводит исследование, его цель — решить определенную проблему. Даже сегодня, если спросить у математика, над чем он работает, его ответ наверняка будет состоять в формулировке задачи, которую он пытается решить. Чтобы понять задачу, занимавшую Кантора в 1870 году, нам нужно кратко рассказать о рядах Фурье.

В начале XIX века французский математик Жозеф Фурье разработал метод, позволяющий разложить любую периодическую функцию на сумму определенных элементарных функций (каждая из которых меняет амплитуду, частоту или фазу исходной функции). Фурье успешно применил его для изучения таких волновых явлений, как распространение тепла или колебания пружины. Так как эти суммы обычно затрагивают бесконечное (теоретически) число функций, а в математике результат сложения бесконечного числа величин называют рядом, этот метод получил название рядов Фурье. Сегодня он является важным инструментом во многих отраслях науки, таких как физика и инженерное дело.

В 1860-х годах, также в Галле, немецкий математик Эдуард Гейне работал над проблемой определения того, всегда ли разложение периодической функции на сумму элементарных волн является единственным.

Вопрос о единственности разложения часто встречается в математике. Возьмем натуральные числа (то есть образующие вышеупомянутую последовательность 1, 2, 3, 4...). Вспомним, что простые числа — это числа, которые делятся только на единицу и на самих себя (например, 2, 3, 5 и 11 — простые числа, в то время как 9 таковым не является, поскольку делится на 3).

Уже много тысячелетий известно (об этом знал и Евклид в III веке до н. э.), что любое натуральное число, большее 1, либо простое, либо может быть записано как произведение простых.

Французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) в начале XIX века установил, что любая периодическая функция — это результат сложения бесконечного числа синусоидальных волн. На рисунке 1 представлена периодическая функция со скачками, или разрывами, во всех целых нечетных числах (положительных и отрицательных), в то время как на рисунке 2 показана основная синусоидальная волна.

РИС. 1

РИС. 2

Функция на рисунке 1 — это результат сложения бесконечного количества волн, изменяющих различными способами основную волну на рисунке 2. Например, мы можем сжать или растянуть ее вертикально или горизонтально. На рисунках 3 и 4 показано, соответственно, вертикальное растяжение волны с рисунка 2 и ее сжатие.

РИС.З

РИС. 4

На рисунке 5 показано горизонтальное сжатие волны с рисунка 2. Волны также могут перемещаться по вертикали или горизонтали: на рисунке 6 показана волна с рисунка 2, смещенная горизонтально.

РИС. 5

РИС. 6

Единица — особый случай, который по техническим причинам рассматривается отдельно: это число не является ни простым, ни произведением простых, хотя причины этого отделения неважны для нашего обсуждения. Например: 12 = 2 х 2 x 3; 9 = 3 x 3; 15 = 3 x 5. Есть ли другой способ записать число 12 как произведение простых чисел? Или вариант 2 х 2 х 3 единственно возможный? Ответ заключается в том, что, не учитывая таких тривиальных вариаций, как изменение порядка чисел или группировки 2 х 2 в виде 2², единственная форма записи 12 в виде произведения простых чисел — это 2 х х 2 х 3, и это верно для всех остальных натуральных чисел.

Разложение на простые числа всегда единственное, и эта единственность создает более сильную связь между числами и их простыми множителями. Благодаря этому свойства разложения (или факторизации) на простые числа становятся сильнее.

Эдуард Гейне задался вопросом, существует ли подобная связь между периодической функцией и элементарными волнами. Единственное ли это разложение, как это установлено для разложения на простые числа? В 1860-х годах Гейне удалось доказать, что некоторые типы периодических функций (например, не имеющие скачков, то есть непрерывные) можно разложить на элементарные волны единственным образом. Однако он не нашел общего доказательства для всех возможных ситуаций, а также не смог доказать единственности в случае, когда в каждом периоде у функции бесконечное (теоретически) число разрывов. Так что когда Кантор приехал в Галле в 1870 году, Гейне предложил ему поработать над этим вопросом: всегда ли периодическую функцию можно разложить единственным образом, даже если количество разрывов в каждом периоде может неограниченно расти?