Евклидова геометрия, изложенная в работе ученого "Начала" (III век до н. э.), основана на пяти постулатах, или аксиомах, которые могут быть сформулированы следующим образом.

1. Через две точки можно провести единственную прямую.

2. Отрезок можно продолжить из любого его конца.

3. При любом центре и любом радиусе можно провести окружность.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Итальянский математик Эудженио Бельтрами.

Первые четыре постулата очевидны, но пятый имеет высокую понятийную сложность и может оказаться не таким явным, как остальные. На самом деле оригинальная формулировка Евклида для пятого постулата была еще сложнее (выше приведена самая известная формулировка, предложенная английским математиком Джоном Плейфэром в конце XVIII века). Интересно добавить, что в своих доказательствах Евклид старался меньше использовать пятый постулат (как будто он сам немного не доверял его справедливости).

В течение многих веков считалось, что пятый постулат можно доказать на основе четырех других. Было сделано много попыток найти доказательство, но все они провалились. Наконец, в 1868 году Эудженио Бельтрами доказал, что пятый постулат неразрешим относительно остальных четырех, то есть ни сам постулат, ни его отрицание не могут быть доказаны на их основе. Это был первый в истории известный пример неразрешимости относительно множества аксиом — за несколько десятков лет до того, как Гёдель доказал свою теорему. У пятого постулата есть два отрицания: в одном из них говорится, что через точку, не лежащую на прямой, не проходит ни одной прямой, параллельной данной, в другом — что через нее проходит больше одной параллельной прямой. Как пятый постулат, так и его отрицания могут быть добавлены к оставшимся четырем, и во всех случаях получается непротиворечивое множество аксиом. Когда добавляется пятый постулат, получается, конечно же, геометрия Евклида; в оставшихся двух случаях возникают так называемые неевклидовы геометрии. Сегодня считается, что все эти геометрии одинаково справедливы; неевклидовы больше подходят для описания эйнштейновского пространства, искривленного присутствием масс, в то время как евклидова больше приспособлена к нашему восприятию повседневных явлений.

Это приравнивает математику к естественным наукам. В физике, например, любая теория является предварительной. То, что гравитационное притяжение между двумя телами уменьшается согласно квадрату расстояния, — это предварительное утверждение, поскольку мы никогда не сможем проверить силу гравитационного притяжения для всех пар тел, существующих во Вселенной, на всех возможных расстояниях. Утверждение истинно... пока не найдена ситуация, в которой оно не работает.

Нечто подобное происходит с семантическими доказательствами; мы можем быть уверены, что из Р выводится Q... пока не найдем мир, в котором Р будет истинным, a Q не работает. В программе Гильберта предполагалось избавление от этой неточности и предлагались методы доказательства, правильность которых можно было бы проверить раз и навсегда.

Повторим сказанное выше: любое истинное арифметическое высказывание может быть доказано на основе аксиом Пеано, если мы допустим семантические методы. Но мы никогда не сможем быть абсолютно уверены в том, что эти семантические методы верны. Мы можем иметь точные и достоверные методы рассуждения, как хотел Гильберт, но в этом случае не сможем доказать все истины. Мы можем узнать потенциально все арифметические истины, но без уверенности в том, что наши методы корректны. Надежность и достоверность либо возможность узнать все истины — одно или другое, но не оба варианта одновременно.

Выше ли человеческий разум компьютера? Верно ли, что мы "думаем", в то время как компьютер просто "считает"? Или нет принципиальной разницы, и однажды технологический прогресс позволит нам создать искусственный интеллект, с которым мы встречаемся в научной фантастике?

Полемика на эту тему началась в середине XX века — с развитием первых электронных компьютеров. С тех пор были написаны десятки и даже сотни книг и статей с аргументами, опровержениями, дебатами и гипотезами на эту тему, но до сегодняшнего дня ответа так и нет.

Очевидно, что на нескольких страницах невозможно сделать обзор всех аргументов за или против. Упомянем лишь: теоремы Гёделя о неполноте несколько раз использовались в таких дискуссиях как аргумент в пользу того, что человеческий разум выше компьютера.

Прежде мы привели доказательство непротиворечивости аксиом Пеано, и наша человеческая способность воспринимать семантическое понятие "истины" убеждает нас в том, что оно верно. Однако во второй теореме Гёделя доказывается, что правильность этого доказательства не может быть проверена компьютером. Так мы нашли задачу (проверка правильности доказательства того, что аксиомы Пеано непротиворечивы), которую человеческий разум может осуществить, а компьютер нет (и эта невозможность принципиальна). Следовательно, человеческий разум выше компьютера.

В случае если математические предложения имеют отношение к действительности, они неточны, и наоборот, если они точные, они не имеют отношения к действительности.

Альберт Эйнштейн на лекции, прочитанной 27 января 1921 года

Аргумент кажется убедительным, но он не окончательный. Доказательство непротиворечивости аксиом Пеано основывается на нашей интуиции о том, что эти аксиомы являются истинными высказываниями. Но не ошибается ли наша интуиция? Она ведь подвела, например, Фреге, который в течение нескольких лет был убежден в непротиворечивости своих аксиом, пока Бертран Рассел не открыл, что одна из них противоречит самой себе. Возможно, когда-то в будущем новый Рассел покажет нам парадокс, следующий из аксиом Пеано, и скажет, что они все-таки противоречивы.

Следовательно, мы не можем хвастаться своим превосходством над компьютерами, поскольку никогда не будем уверенными в том, что наши семантические рассуждения верны. Нам нужно свыкнуться с возможностью того, что в будущем все (или почти все) наши рассуждения окажутся неверными.

Дискуссия, начатая с открытия парадокса Рассела, так и не закончилась. Три предположения, которые были сделаны в начале XX века, — интуиционизм, логицизм и формализм (или программа Гильберта) — провалились по разным причинам и не были заменены другой программой аналогичного уровня. Какова природа математических объектов? Существует ли промежуточный уровень между чисто синтаксическими и семантическими рассуждениями, который позволил бы превзойти неполноту теорем Гёделя, в то же время обеспечив непротиворечивость? Действительно ли существует категорическая разница между синтаксическим и семантическим? Или понятия, которые мы называем семантическими, являются всего лишь более сложными синтаксическими понятиями (в которых работают с группами символов вместо индивидуальных символов)? Существует еще много подобных вопросов, ответы на которые не найдены... к счастью.

Bell, Е.Т., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.

Godel, K., Sobrepropositions formalmente indetidibles de los Principia Mathematica у sistemas afines, Oviedo, KRK Ediciones, 2006.