Гёдель(слева) и Эйнштейн во время одной из многочисленных прогулок в Принстоне с 1940 по 1954 год.

В 1951 году Гёдель (вместе с американским физиком-теоретиком Джулианом Швингером) был награжден премией Альберта Эйнштейна. Слева направо: Эйнштейн, Льюис Штраус (председатель совета Института перспективных исследований в Принстоне), Гёдель и Швингер.

основываясь на том факте, что изменение существует только относительно объективного промежутка времени, но понятие "объективного промежутка времени" несправедливо в релятивистской вселенной, в которой у каждого наблюдателя есть свое собственное "сейчас", не сравнимое с "сейчас" других наблюдателей. Следовательно, если нет объективного времени, нет изменений.

Гёдель продолжает: "Джеймс Джинс сделал вывод, что нет причин отказываться от интуитивной идеи существования абсолютного времени, длящегося объективно. Я не думаю, что ситуация оправдывает этот вывод", — говорит он и объясняет это расхождение во взглядах, основываясь на результатах, полученных в своей предыдущей статье. Если существуют вселенные без объективного времени, совместимые с уравнениями относительности, а наша Вселенная, конечно же, совместима с ними, то мы не можем точно сделать вывод о том, что в нашей Вселенной есть объективное время.

В 1952 году была опубликована третья и последняя работа Гёделя об относительности. Она называлась "Вращающиеся вселенные в общей теории относительности" и на самом деле была рефератом его выступления на Международном математическом конгрессе в Кембридже (Массачусетс) в 1950 году. В ней ученый излагает новые решения уравнений Эйнштейна, вновь основанные на вращающихся Вселенных, хотя в этом случае не все они имеют замкнутые времениподобные кривые.

Хотя решения Гёделя не описывают реальную Вселенную, они подтолкнули поиск неортодоксальных решений уравнений Эйнштейна, и в этой области Гёдель опять был первым.

Ученый опубликовал все свои работы по математической логике в течение всего десяти лет, с 1930 по 1939 год (пока жил в Вене, хотя последние две статьи, 1938 и 1939 годов, были опубликованы на английском языке в американских журналах). Во время принстонского периода Гёдель не публиковал результатов по логике и в основном (за исключением уже упомянутых статей по теории относительности) занимался комментированием философских выводов своих предыдущих исследований.

Джеймс Хопвуд Джинс, которого Гёдель цитирует в своей второй статье о теории относительности,— британский физик, математик и астроном, родившийся в 1877 году в графстве Ланкашир. Он учился в Кембриджском университете и преподавал там же до переезда в Принстонский университет в 1904 году, где работал преподавателем прикладной математики. Вернулся в Кембридж в 1910 году. Джинс внес важный вклад в квантовую механику, теорию излучения и звездную эволюцию. Его анализ вращающихся тел привел к выводу о том, что теория Лапласа об образовании Солнечной системы из облака газа была ошибочной. В свою очередь, Джинс предположил, что планеты возникли из вещества, испущенного Солнцем из-за гипотетического столкновения с другой звездой; однако сегодня эта теория не принята. Ученый написал несколько книг по популярной физике и космологии, которые принесли ему славу замечательного популяризатора науки. В одной из них, "Загадочная Вселенная", сказано:

"Направление знаний устремляется к немеханической реальности: Вселенная теперь больше похожа на великую мысль, чем на великую машину. Разум уже не кажется неким существом, случайно вторгшимся в королевство материи... мы скорее должны приветствовать его как создателя и властелина королевства материи". 

Джеймс Джинс скончался в графстве Суррей (Англия) в 1946 году.

Последняя научная работа по математической логике за авторством Гёделя появилась в форме книги объемом примерно 70 страниц, опубликованной издательством Принстонского университета в 1940 году. Она не была напрямую написана Гёделем, а представляла собой издание конспектов курса, прочитанного ученым в 1938-1939 годах в Институте перспективных исследований. Книга называется "Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств", и в ней изложено частичное решение первой из проблем, которые поставил Давид Гильберт на своей знаменитой лекции 1900 года, — проблемы, изначально сформулированной Георгом Кантором и известной как континуум-гипотеза.

Чтобы понять, что такое континуум-гипотеза, мы должны вернуться к теории Кантора о бесконечности, о которой говорилось в первой главе. Вспомним, что множество, по словам самого Кантора, это "собрания целиком объектов действительности или нашей мысли". Так, имеется множество всех дней недели, множество всех месяцев в году или множество четных натуральных чисел. Одни из этих множеств конечны, другие бесконечны.

Множество является конечным, когда возможно сосчитать его члены один за другим, и этот счет в какой-то момент заканчивается. В бесконечных множествах, наоборот, счет никогда не заканчивается. Если у нас есть конечное множество, мы вполне можем сказать, сколько в нем членов; например, во множестве дней недели семь членов, а во множестве месяцев года — 12. Количество членов множества математики называют его кардинальным числом; таким образом, мы можем сказать, что кардинальное число множества, образованного буквами слова "море", равно четырем.

Целью Кантора было придать смысл идее кардинального числа, или количества членов, для бесконечных множеств. Но как можно говорить о количестве членов бесконечного множества? Можно ли что-то сказать, кроме очевидного факта того, что оно бесконечно? Кантор исходил из простой идеи: представим себе, что в большом зале много играющих детей и большое число стульев (рисунок 1), и нам хочется знать, равно ли их количество друг другу. Один из способов сделать это — это сосчитать детей по одному, сделать то же самое со стульями, а затем сравнить результаты.

РИС. 1

РИС. 2

Но есть более прямой способ осуществить это сравнение — попросить детей сесть по одному на каждый стул. Если не осталось ни одного пустого стула, мы можем сказать, что стульев ровно столько же, сколько и детей, то есть что кардинальные числа множества стульев и множества детей равны. В математической терминологии можно сказать, что мы установили биективное (взаимнооднозначное) соответствие между множествами (каждому ребенку соответствует один стул, а каждому стулу — один ребенок).

Итак, мы можем сказать, что у двух конечных множеств одно и то же кардинальное число, если можно установить биективное соответствие между ними. Идея Кантора заключалась в том, чтобы распространить это понятие на бесконечные множества, установив биективное соответствие между множествами в виде сравнения их кардинальных чисел.

На основе этой идеи Кантор определил, что два бесконечных множества имеют одно и то же кардинальное число, если можно установить между ними биективное соответствие, то есть если можно установить пары между их соответствующими членами так, чтобы каждому члену первого множества точно соответствовал один член второго, и наоборот.

В первой главе мы уже видели, что множество всех натуральных чисел (1, 2, 3, 4,...) может иметь биективное соответствие с множеством квадратных чисел (1,4, 9, 16,...).