Четвёртый фактор, определивший успех в работе Владимира Модестовича, — его дальновидность, умение видеть перспективность и практическое значение выбранной темы. Владимир Модестович обладал особой способностью — научной прозорливостью. Он своевременно улавливал и точно формулировал те вопросы, которые на данном этапе развития науки и школьного образования являлись актуальными, сам выдвигал их и способствовал их развитию и совершенствованию. Он быстро реагировал на все изменения в требованиях к школьному образованию и соответствующей подготовке учителей и отражал их в своих работах. Вследствие этого его учебник для студентов пединститутов «Методика преподавания математики», вышедший первый раз в 1949 г., содержит идеи, которые совпадают с передовыми взглядами методистов и учителей 70-х гг. Поэтому «Методика...» является до сих пор полезным учебником для студентов и необходимым пособием для учителей средних школ.

В силу такой способности он направлял свои усилия и усилия своих аспирантов на разработку разнообразных, интересных тем, всегда соответствующих духу времени. Например, в 60-е гг. он выпустил ряд книг, посвящённых приближенным вычислениям, работе с логарифмической линейкой, так как эти темы впервые включались в программу средней школы. Его аспиранты представили диссертации и статьи по следующим вопросам: «Из опыта изучения математических таблиц» (А.К. Артёмов, 1955), «Метод последовательных приближений и его использование в средней школе» (Н.И. Бибикова, 1955), «Графические вычисления в школе» (К.И. Кабанова, 1954), «Счётная логарифмическая линейка в школе» (К.И. Кабанова, 1958), «Измерение геометрических величин в школьном курсе математики» (А.Ф. Спасский, 1958), «Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач» (Е.Ф. Данилова, диссертация — 1958, книга — 1961), «Изучение геометрических преобразований в 8 классе» (Е.Ф. Данилова, 1963), «Индукция в геометрии» (Л.Н. Ерошкина, 1954), «Понятие о геометрии Лобачевского» (Я.И. Груденов, 1963), «Комплексные числа и их применение в геометрии» (М.В. Гиршович, 1963) и др.

Пятый фактор, способствующий успеху в работе Владимира Модестовича, заключался в том, что он свою научно-исследовательскую и педагогическую деятельность проводил в течение полувека в одном и том же высшем учебном заведении — Калининском педагогическом институте, в котором работал с 1921 по 1973 год. Здесь он начал свою учёную карьеру, здесь он рос, достиг известности и признания и принёс славу институту. Оппоненты, приезжавшие из других городов на защиты (например, Р.А. Хабиб), говорили, что они гордятся тем, что им пришлось выступить в институте, в котором работает их общий учитель, признанный авторитет по методике преподавания математики и по теории приближенных вычислений — профессор В.М. Брадис.

I. Теоретическая и методическая разработка вопросов, связанных с повышением вычислительной культуры учащихся

В научно-исследовательской работе В.М. Брадиса можно выделить три направления. Первое, являющееся основным, сосредоточено на теоретической и методической разработке вопросов, связанных с повышением вычислительной культуры учащихся средних школ и соответствующей подготовкой учителей, призванных выполнить эту задачу. Решению данной проблемы В.М. Брадис посвятил всю свою жизнь. Идея возникла в студенческие годы, когда ему пришлось самому встретиться с необходимостью производить вычисления и наблюдать за работой других вычислителей. Здесь он убедился, что многие испытывают большие трудности вследствие того, что не владеют приёмами вычислений с приближенными данными. К этому времени имелись труды академика-кораблестроителя Алексея Николаевича Крылова. Но требовалось дальнейшее совершенствование, обоснование и пропаганда применяемых методов для использования их в школьном курсе математики. Эту задачу выполнил В.М. Брадис. Он проводит тщательное изучение вопроса и результаты исследования излагает в своих работах. Подвергая жестокой критике существующие сборники задач, Владимир Модестович с горечью отмечает, что «вопрос о недопустимом расхождении между вычислительной работой учащихся средней школы и практическими требованиями жизни вот уже более века является одним из нерешённых вопросов методики преподавания математики» (В.М. Брадис. Вычислительная работа в курсе математики средней школы. М., 1962. С. 3). Действительно, школа учит учащихся вычислительной работе на решении надуманных задач и формул с искусственно подобранными данными, при которых деления совершаются без остатка, корни извлекаются нацело, ответы выражаются натуральными числами.

Владимир Модестович отмечает, что за последние 50 лет математическая наука и её практические приложения шагнули далеко вперёд, а школьные задачники делают по части вычислительной культуры весьма робкие шаги, не вносящие заметного улучшения в повышение вычислительной культуры. Причинами застоя, по мнению В.М. Брадиса, являются, во-первых, сила традиций и, во-вторых, недостаточная разработанность научной основы практических приёмов вычислений с приближенными данными. Решением этих проблем В.М. Брадис занялся с первых лет работы в институте. Он тщательно анализирует три выделившихся в теории вычислений направления.

Первое, которое он называет классическим, — вычисление со строгим учётом погрешностей. Оно проявляется в двух видах. 1) способ границ погрешностей, когда указывается предельная, т.е. наибольшая абсолютная или относительная погрешность всякого приближенного значения, и 2) способ границ, когда указывается низшая и высшая граница, между которыми заключено приближенное число. В методической литературе рассматривается только способ границ погрешностей, в то время как способ границ более прост по идее, строже по существу и имеет применение в научной работе. Им пользовался Архимед (287—212 гг. до н.э.). Он, например, вычислив с большой точностью число ПИ, указал две границы приближенного его значения: 310/71 ПИ <3 1/7. Способ границ погрешностей, теоретически разработанный, в школе применим мало, так как требует, во-первых, значительных дополнительных расчётов и, во-вторых, обоснований используемых теорем, которые доступны учащимся старших классов.

Способ границ вполне доступен учащимся 7-х и даже 6-х классов, но обоснование его совершенно не рассматривается в методической литературе. В силу сказанного ни один из них не может стать основным способом в школьных вычислениях.

Второе направление, которое Владимир Модестович назвал техническим, есть вычисление без строгого учёта погрешностей. Основной его принцип сформулирован академиком А.Н. Крыловым; результат всякого вычисления есть число. Его следует писать так, чтобы по начертанию можно было судить о степени точности; для этого примем за правило писать число так, чтобы в нём все значащие цифры кроме последней были верны, и лишь последняя цифра была бы сомнительной и притом не более, как на одну единицу. Желание выполнить последнее требование принципа приводит к тому, что приходится следить за тем, чтобы абсолютная погрешность каждого приближенного результата была не более единицы разряда последней его цифры. Тогда, в сущности, происходит вычисление со строгим учётом погрешностей. Сам А.Н. Крылов и некоторые другие не следили за буквальным выполнением последнего требования, допуская некоторую неопределённость границы погрешности последней сохраняемой цифры результата. В силу этой неопределённости техническое направление не пользовалось доверием методистов и в школе не применялось.

Третье направление, которое Владимир Модестович назвал геодезическим, основано на теории вероятности. Здесь исследуется не только предельная погрешность приближенного значения, но и вероятности различных значений этих отклонений.

в работах данного направления нет достаточно удобных общих правил, вследствие чего требуются дополнительные усилия, чтобы устанавливать, какие цифры результата каждого действия над приближенными значениями величин следует сохранять.