После открытия Ньютоном дифференциального уравнения «сила равна массе, умноженной на ускорение», которое управляет движением множества точек и твердых тел, Эйлер сформулировал систему дифференциальных уравнений, описывавших движение такой среды, как вода, воздух или иные жидкие невязкие тела.

Позднее Лагранж сконцентрировал свое внимание на звуковых волнах и акустических уравнениях. В течение XVIII века математики углубляли свое понимание мира и предлагали новые дифференциальные уравнения для изучения различных феноменов. При помощи этого вида уравнений было смоделировано поведение твердых и жидких тел, волн и самой Природы. Математический анализ казался бесконечно обширным.

Однако если составление уравнения для описания феномена может быть легкой задачей, то поиск решения может оказаться не под силу человеку. Самостоятельно решить дифференциальное уравнение так же, как алгебраическое, не удается почти никогда. Последователи Ньютона сформулировали уравнения и смогли решить часть из них — особенно те, которые были связаны с импульсом подброшенной частицы или движением маятника, — но многие уравнения им не поддавались. Для понимания физических феноменов требовалось решать все более сложные дифференциальные уравнения.

Существует два вида дифференциальных уравнений: линейные и нелинейные. Для уравнений первого вида сумма двух решений также оказывается решением. Кроме того, в линейном дифференциальном уравнении ни неизвестная функция, ни ее производная не могут быть возведены в степень 0 или 1. Линейные дифференциальные уравнения описывают феномены, в которых результат суммы причин — это сумма последствий каждой из них, взятой отдельно. Зато в нелинейных уравнениях не существует пропорциональной связи между причинами и следствиями, и пересечение двух разных причин может дать неожиданный результат. Как мы увидим дальше, эта нелинейность сопутствовала самым сложным задачам механики, за которые брался Лаплас.

Людовик XIV во время визита в Академию наук в 1671 году, через пять лет после ее создания.

Гравюра, изображающая Лапласа, из альбома «Великие люди и великие факты Французской революции» (1789-1804), выпущенного к столетию революции в 1889 году.

План Королевской военной школы в Париже, составленный Жаком Анжем Габриэлем в 1751 году.

Ученый франко-итальянского происхождения Жозеф Луи де Лагранж (1736-1813) родился в Турине. Его интерес к математике разгорелся в самом раннем возрасте благодаря очерку астронома Эдмунда Галлея, описывавшего положительные стороны нотации Ньютона. Благодаря работам Лагранжа Эйлеру удалось решить большое количество задач, с которыми он долгое время не мог справиться. Однако с великодушием, достойным восхищения, Эйлер отказывался публиковать решение до того момента, пока этого не делал Лагранж, — «чтобы не присвоить себе никакой доли славы, которая к нему пришла». В 1766 году, когда Эйлер покинул Берлин, чтобы ехать в Санкт-Петербург, Лагранж занял его место (говорят, Фридрих II воскликнул, что наконец-то ему удалось найти замену одноглазому математику). Именно в Берлине он пишет свое лучшее произведение — «Аналитическую механику» (1788). Эта работа изложена так элегантно, что может быть квалифицирована как научная поэма.

Лагранж ненавидел геометрию, и отсутствие графиков в его труде было для него источником гордости: «В этом сочинении нет чертежей... Любители анализа с удовольствием увидят, что механика становится новой его отраслью». Однако — вот ирония судьбы! — самой большой почестью в его жизни станет звание геометра Империи, присвоенное Наполеоном. Среди достижений Лагранжа называют новое обобщение уравнений движения, а также новаторские методы решения дифференциальных уравнений (метод вариации постоянной). После смерти Фридриха II он получил от Людовика XVI предложение обосноваться в Париже. Там он встретил Лапласа и оказался втянутым в революционные потрясения. По натуре склонный к депрессиям, Лагранж в избытке употреблял чай и кофе и все силы отдавал математике, пока не подорвал свое здоровье.

Теория линейных дифференциальных уравнений тут же была дополнена: Эйлер и Лагранж объяснили, как решать системы линейных уравнений, в то время как их предшественники решали уравнения последовательно, одно за другим, однако буксовали каждый раз, когда вставал вопрос о нелинейных уравнениях. Нелинейные задачи — такие как уравнение маятника — необходимо было решать методом линеаризации, устраняя при этом все показатели, усложняющие уравнение. Иначе говоря, для данного нелинейного дифференциального уравнения было возможно решить аналогичное линейное уравнение и найти решения первого уравнения методом последовательных приближений к решениям второго. Этот подход называют теорией возмущений. Однако этот способ очень быстро показал свои ограничения и неэффективность в большинстве случаев. Просвещенные математики тех лет искали конкретные методы решения специфических уравнений.

Именно в этом направлении Лаплас и достиг некоторых успехов, предложив математические способы, которые с течением времени были улучшены. Ученый максимально использовал математические методы, которые изучил или придумал, в частности имевшие отношение к интегрированию, то есть к решению — точному или приближенному — дифференциальных уравнений, встреченных им в механике и астрономии. Начиная с публикации своей первой статьи Лаплас заинтересовался этими способами интегрирования, которые считал важным открытием.

Королевская Академия наук Парижа, созданная в 1666 году Людовиком XIV и располагавшаяся в здании Лувра, была центром притяжения великих ученых того времени. Кандидаты, желавшие получить пожизненное место в Академии, должны были сначала завоевать признание ее действительных членов, прислав одному из них свою работу, которую тот представлял своим коллегам на специальном собрании, тогда как два других члена составляли отчет с оценкой работы. Лаплас прекрасно понимал, что обязательно должен пройти эту процедуру, если он хочет обеспечить себе будущее в качестве ученого и материальную стабильность. В то время академии предлагали математикам финансовую помощь и публиковали их труды в специализированных журналах.

Лаплас отправил свои первые записки в академию 28 марта 1770 года. Его рецензенты, среди которых был Кондорсе, написали:

«Нам кажется, что статья господина Лапласа раскрывает лучшие знания математики и большие способности к вычислениям, нежели мы обычно находим в людях его возраста».

Тем не менее в 1772 году, несмотря на публикации и похвальные отзывы, Лаплас так и не смог стать членом Академии наук. Отчаявшись, юноша уже подумывал о том, чтобы эмигрировать в Пруссию или Россию, как Лагранж и Эйлер.

Но в марте 1773 года удача ему улыбнулась. После многочисленных попыток Лаплас наконец получил место в отделе механики. Он был назначен 30 марта адъюнкт-геометром, а 31 марта — адъюнкт-механиком (за этот пост молодой человек конкурировал с Гаспаром Монжем (1746-1818) и Адриеном- Мари Лежандром (1752-1833)). После трех лет настойчивых попыток в возрасте 24 лет Лаплас наконец стал полноправным членом Академии.

Радость нашего героя, как и радость его покровителя д’Аламбера, была необыкновенной. Амбициозная мечта, которую он лелеял с момента своего прибытия в Париж, наконец осуществилась.

В течение всего XVIII века математики и астрономы безуспешно пытались решить определенные проблемы, на которые механика Ньютона не давала ответа: форма Земли, ее орбита, кометы, аномалии движения и в целом устойчивость Солнечной системы. Лаплас играл в этих исследованиях решающую роль: ему удалось доказать, что принцип гравитации — краеугольный камень всего ньютоновского сооружения.