Из этого примера становится очевидным, что фазовые пространства, прежде всего, имеют достаточно крупные размеры. В действительности же вселенная – это лишь крошечная частичка того, чем могла быть вместо этого. Представьте на мгновение, что на парковке сто мест, а машины на ней могут быть красными, синими, зелеными, белыми или черными. Сколько тогда окажется машин каждого из цветов, если все места будут заняты? Неважно, каких они марок, хорошо ли или плохо припаркованы, – сконцентрируйтесь только на их цвете.
Математики называют данный тип задач «комбинаторикой» и для их решения используют несколько разумных способов. Грубо говоря, комбинаторика – это искусство считать без фактических подсчетов. Много лет назад один наш знакомый математик случайно заметил, как ректор считает лампочки на потолке лекционного зала. Те были расположены в форме идеальной прямоугольной сетки, 10 на 20. Ректор смотрел на потолок и считал: 49, 50, 51…
– Их двести, – сказал математик.
– Откуда вы знаете?
– Ну, они составляют прямоугольник 10 на 20. Если перемножить, то получается 200.
– Нет, нет, – ответил ректор. – Я хочу знать точно[14].
Но вернемся к нашим машинам. У нас пять цветов, и каждое место на парковке может быть занято только одним из них. Значит, первое место имеет пять вариантов цветов, второе – тоже пять и так далее. Любой вариант заполнения первого места может сочетаться с любым вариантом заполнения второго, тогда первые два места могут быть заняты 5×5=25 вариантами. Каждый из них может сочетаться с любым из пяти вариантов заполнения третьего места, таким образом уже получается 25×5=125 возможностей. В итоге получится, что количество вариантов, которыми можно занять парковку, будет составлять 5×5×5 … ×5, со ста пятерками. Это 5100, что отнюдь не мало. Если быть точным, то это
78886090522101180541172856528278622
96732064351090230047702789306640625
(мы разбили это число на две строки, чтобы оно поместилось на ширине страницы), то есть состоит из 70 цифр. Кстати, компьютеру понадобилось около пяти секунд, чтобы получить это число, и примерно 4,999 из них потребовалось на ввод соответствующей команды. Остальное время занял вывод результата на экран. Так что теперь вы понимаете, почему комбинаторику называют искусством считать без фактических подсчетов. Если бы вы просто начали считать: 1, 2, 3, 4 …, то вы бы не скоро закончили. Так что ректору повезло, что он не был начальником парковки.
Насколько велико Б-пространство? Библиотекарь сказал, что оно бесконечно, и это утверждение истинно, если под бесконечностью вы подразумеваете «число, гораздо большее того, что можно представить», если вы не ставите верхнего предела для объема книг[15] или если вы допускаете все возможные алфавиты, слоговые азбуки и пиктограммы. Если же принимать во внимание только книги стандартного размера на английском языке, то их предположительное количество можно снизить.
Средняя книга содержит около 100 000 слов или 600 000 символов (букв и пробелов, знаки препинания учитывать не будем). В английском алфавите 26 букв плюс пробел, то есть 27 символов, которые занимают 600 000 возможных позиций. Принцип подсчета, который мы применили в задаче о парковке, свидетельствует о том, что максимальное количество букв с такими параметрами составит 27600000, а это, грубо говоря, 10860000 (или 860000-значное число). Разумеется, большинство этих «книг» будет иметь мало смысла, потому что мы не поставили условия, чтобы буквы складывались в понятные слова. Если допустить, что словарный запас книги будет составлять 10 000 слов, и попробовать посчитать способы расположения 100 000 слов, то книг останется 10 000100000, что равняется 10400000, а это хоть и значительно меньше, но по-прежнему невероятно много. При этом большинство из них все равно будут лишены смысла, в них было бы написано что-то наподобие: «Капустный патроним забыл запрещать вражеская сущность»[16]. Поэтому, наверное, стоит еще просчитать с учетом возможных предложений… Но даже если мы это сделаем, получится, что на то, чтобы вместить все эти книги в физическом виде, не хватит всей вселенной. Зато здесь на помощь приходит Б-пространство, и мы теперь знаем, почему на полках никогда не бывает достаточно места. Нам приятно думать, что наши видные библиотеки, такие как Британская библиотека или Библиотека Конгресса, достаточно велики. Но на самом деле объем ныне существующих книг – это лишь крошечная часть Б-пространства, всех книг, которые могут существовать. И вообще, мы никогда не напишем все эти книги.
Точка зрения Пуанкаре о фазовом пространстве оказалась настолько полезной, что сегодня ее можно обнаружить в любой области науки – и не науки тоже. Больше всего фазовых пространств приходится на экономику. Допустим, национальная экономика охватывает миллионы различных товаров, включающих сыры, велосипеды, крыс на палочке и так далее. У каждого из них есть своя цена: скажем, кусок сыра стоит 2,35 фунта, велосипед – 499,99, крыса на палочке – 15. То есть состояние экономики представляет собой список из миллиона чисел. Фазовое пространство состоит из всех возможных списков, включая те, у которых вообще нет никакого экономического смысла. Например, список, согласно которому велосипед стоит 2 пенса, а крыса 999 999 999,95 фунта. Экономисты занимаются тем, чтобы определять принципы, по которым выбираются действительные списки из пространства всех возможных.
Классическим принципом этого выбора является закон спроса и предложения, который гласит: если товар дефицитен, а вы очень-очень хотите его приобрести, то цена на него повышается. Иногда так и происходит, впрочем, нередко случается наоборот. Поиски таких законов напоминает черную магию, а их результаты не вполне убедительны, но это свидетельствует лишь о сложности экономической науки. И, несмотря на неутешительные результаты, образ мыслей всякого экономиста представляет собой точку зрения фазового пространства.
Следующая коротенькая история демонстрирует, насколько экономическая теория далека от реальности. Основой общепринятой экономики является представление о рациональном агенте, обладающем самой точной информацией и максимизирующем полезность. Согласно такому предположению, таксист, например, будет организовывать свою работу так, чтобы заработать максимальную сумму денег, приложив минимальные усилия.
Доход таксиста зависит от нескольких обстоятельств. В лучшие дни, когда у него много пассажиров, он зарабатывает хорошо. В плохие дни – нет. Следовательно, рациональный таксист должен дольше работать в хорошие дни и пораньше заканчивать в плохие. Однако исследование работы нью-йоркских таксистов, проведенной Колином Кэмерером, дало совершенно противоположные результаты. Похоже, таксисты устанавливают для себя дневную норму и прекращают работу, как только достигают нужной отметки. Поэтому они меньше работают в хорошие дни и больше – в плохие. Если бы они работали одинаковое количество часов каждый день, то могли бы увеличить свой доход на 8 %, не увеличивая средней продолжительности рабочего дня. А если бы работали дольше в хорошие дни и меньше в плохие, то их доход вырос бы на 15 %. Но у них не столь хорошо развита интуиция для выбора экономического фазового пространства, чтобы так поступать. Им, как и многим другим людям, свойственно придавать слишком большое значение настоящему и мало заботиться о будущем.
Насыщена фазовыми пространствами и биология. Первым широкое распространение получило ДНК-пространство. Связанное с каждым живым организмом, оно является его геномом, цепочкой химических молекул, называющихся ДНК. Молекула ДНК имеет форму двойной спирали, то есть представляет собой две спирали, закрученные вокруг общего ядра. Каждая спираль состоит из цепочек «оснований», или «нуклеотидов», которые могут быть четырех видов: цитозин, гуанин, аденин, тимин. Как правило, они обозначаются буквами Ц, Г, А и Т, соответственно. Последовательности двух цепочек комплеменарны: если Ц оказывается в одной спирали, то во второй обязательно будет Г, и то же самое с А и Т. То есть ДНК содержит две копии последовательностей, так сказать, одну положительную и одну отрицательную. Говоря абстрактно, геном можно представить последовательностью этих четырех букв типа ААТГГЦЦТЦАГ… которая может быть достаточно длинной. Геном человека, к примеру, содержит порядка трех миллиардов букв.
