Вот источники погрешностей, как заповедал Метролог всем метрологам на горе Синай. Погрешность модели: мы описываем явление или объект в соответствии с каким-то нашим пониманием и вычисляем параметры в рамках этой модели, а объект или явление устроены сложнее. Например, мы хотим изучить температурную зависимость сопротивления проводника или размеров образца, то есть определить температурный коэффициент сопротивления или расширения. Все замечательно, но эти зависимости не линейны, и апроксимируя их прямой, мы уже делаем ошибку. Распространеннейшим вариантом методической погрешности является влияние прибора на объект. Причем в некоторых случаях это влияние настолько сильно, что разрушает или повреждает объект, поэтому в технике есть такая тема: «неразрушающие измерения». В принципе возможна и ситуация, когда прибор влияет на объект так, что искажение данного измерения невелико, но будут искажены последующие измерения.

Погрешность метода: модель-то наша правильная, но мы не учитываем какого-то фактора или какого-то влияния на учитываемый фактор. Например, идя по мокрым следам великого Архимеда, мы хотим сделать простенький пробирный анализ взвешиванием сплава Au+Ag в жидкости и на воздухе. При этом, как обычно, пренебрегаем плотностью воздуха и зависимостью плотности воды от температуры.

Погрешность инструментальная — собственно, погрешность прибора (весов в предыдущем примере).

Погрешность оператора — неправильный отсчет, неправильная фиксация данных, пропуск отсчета при периодических измерениях.

Эта классификация не идеальна, как, наверное и любая другая. Например, отсчет уровня жидкости без учета смачивания стенок — это погрешность метода (забыли написать в инструкции) или оператора (да это же в школе говорят, и вообще думать надо). Но эта классификация, как и любая полезная классификация, помогает не пропустить ошибку в реальной ситуации.

Кроме того, погрешности делят на основную и два вида дополнительной, которые возникающую от вариации условий измерения. Например, при измерении симпатичности представителя противоположного пола может иметь место дополнительная погрешность, связанная с наличием алкоголя в крови.

Условия измерения можно разделить на две группы. Первая группа — это другие параметры объекта или сигнала. Например, вольтметр предназначен для измерения переменного напряжения частоты 45–55 герц синусоидальной формы. При выходе частоты за эти пределы или при существенном отклонении формы от синусоидальной возникает дополнительная погрешность. Вторая группа внешних условий — это «настоящие» внешние условия, например температура, давление, влажность, освещенность. Они тоже могут влиять на результаты измерений и в мануалах обычно оговорено, в каких условиях должны вестись измерения и какова будет дополнительная погрешность, если нагреть вольтметр до 300 °C или погрузить на дно в районе Марианской впадины.

Специфический вид погрешностей возникает при уменьшении времени, отведенного на измерение, в частности, при увеличении частоты измерений. Прибор, всегда имеющий ограничение по времени реакции хотя бы на принципиальном уровне (он должен получить информацию) не успевает правильно измерить. Эти погрешности называются динамическими.

Погрешность мы можем представить в разном виде. Простейший вариант — однако имеющий название, нам же надо все называть — абсолютная погрешность. Это отличие измеренного от того самого, стыдливо названного выше «условным». Напряжение 220 ± 5 В. Иногда важно не насколько мы можем ошибиться, а много ли это по отношению к измеренному. Стало быть, напряжение 220 В ± 2,5 %. Это называется относительная погрешность.

Заметим, что одна величина так легко и просто переводится в другую, что с точки зрения вычислений не было никакой нужды вводить две величины. Причина, как мне кажется, чисто психологическая. Один человек говорит: мне добавили к ставке $ 100, другой — мне дали $ 1100, третий — мне добавили 10 %. Где в этим списке Вы, читатель? Второй — это с короткой исторической памятью, ему важно, что есть, а не что было. Первому важно отношение, «сколько дали». Третьему — насколько лучше он станет жить.

Примечание 1: лучше жить человек будет не на $ 100, а именно на 10 %, потому что дополнительная сумма скорее размажется по всем статьям расходов, чем пойдет только на увеселения. Примечание 2: человек в разных сферах деятельности может придерживаться разного подхода, например, третьего на работе и в расходах и первого или второго (я — скорее второго) в личной жизни.

В метрологии применяется еще термин «приведенная погрешность». Представим себе, что вольтметр измеряет напряжения от 0 до 250 В, причем погрешность постоянна и равна 5 В. В этом случае абсолютная погрешность и будет 5 В, относительная зависит от реально измеряемой величины (2 % — если 250 В, 5 % — если 100 В, 10 % — если 50 В, чуете, что будет дальше?), а приведенная погрешность будет именно 2 %: это относительная погрешность на конце шкалы. Если шкала прибор начинается не с 0, то берется не конец, а разность конца и — а вы как думаете? — начала.

Источников погрешностей великое множество, но большинство из них действует либо сдвигая измеряемую величину на сколько-то, либо умножая ее на сколько-то. При этом умножение может быть и на величину, меньшую единицы, то есть не «умножая», а «умаляя». Примечание это необходимо потому, что в не столь давние времена церковь сильно возражала против дробей, поскольку при умножении на некоторые дроби величина не «умножалась», а «умалялась». Поскольку не известно, не будет ли к моменту издания этой книги РПЦ рулить преподаванием метрологии, сделано это примечание.

Так вот, первая погрешность называется аддитивной, а вторая мультипликативной. А смешанная погрешность называется почему-то смешанной. Видимо, метрологам не хватило знания латыни.

Но главное деление погрешностей — это деление на систематические и случайные. Смысл кажется вполне понятным из названий, но на самом деле он не понятен. Если верить физике, то истинно случайное — это область действия квантовых закономерностей, от обычной метрологии это достаточно далеко (хотя эталоны все больше становятся квантовыми). Хочется сказать крамолу — что случайные погрешности — это просто погрешности, причина которых нам не ясна. Отчасти это так, но важно еще то, что у того, что мы называем случайными погрешностями, обычно много сравнимых по мощности причин, действующих независимо. Это не случайно — если бы какая-то причина превалировала, мы бы ее раскусили и объявили систематической. А если причин много и они сравнимы и независимы, то формируется определенная картина: распределение погрешностей подчиняется так называемому «нормальному распределению», симметричной функции определенной формы. Симметричность позволяет путем вычисления среднего многократных измерений уменьшать погрешность, а знание функции распределения позволяет оценить достижимую точность.

Можно представить себе ситуацию случайной несимметричной погрешности. Скажем, данный прибор сильнее завышает, нежели занижает показания. Тогда, измерив 220 вольт, мы будем вынуждены сказать, что напряжение равно 220 + 5 — 10 В, то есть лежит на отрезке 210–225. Конечно, такая ситуация уже менее случайна, нежели стандартная «случайная» и человечьим голосом просит — разберитесь во мне, определите мой источник.

Систематические погрешности, увеличивающиеся со временем, называют систематическими прогрессирующими. При чем здесь слово «прогресс» не понятно.

Наше знание того, что при тех или иных измерениях имеет место систематическая погрешность, часто, хотя и не всегда сопряжено с пониманием источника этих погрешностей. Например, систематическая погрешность может быть обнаружена сравнением с более точным прибором. Однако понимание источника погрешности, даже если оно и есть, не всегда означает, что мы можем всегда исключить ее на уровне прибора — и тогда приходится либо исключать ее вычислительно, вводя поправки, либо прибегать к специфическому методу измерений — методу замещения. При этом измеряемая величина и эталон по очереди «измеряются» прибором, который может быть не точнее, хотя и должен быть стабилен.