Допустим, вероятность того, что некий индивид (житель планеты Земля) — пришелец, пренебрежимо мала

). Тогда вероятность того, что этот индивид — человек, стремится к 1 

. Вероятность того, что пришелец будет избран Папой Римским, еще меньше (Р (Папа Римский | пришелец) < 0,001). Следовательно, можно со всей уверенностью утверждать, что

Прекрасно известно, что интуиция, не подкрепленная размышлениями, — злейший враг статистики и теории вероятностей. Многие думают, что при анализе данных большой объем входных данных (но не выборок) позволит получить больше информации, а следовательно, и больше знаний. С этим заблуждением традиционно сталкиваются начинающие специалисты по интеллектуальному анализу данных, и распространено оно настолько широко, что специалисты называют его проклятием размерности.

Суть проблемы заключается в том, что при добавлении к математическому пространству дополнительных измерений его объем возрастает экспоненциально.

К примеру, 100 точек (102) — достаточная выборка для единичного интервала, при условии, что расстояние между точками не превышает 0,01. Но в кубе единичной стороны аналогичная выборка должна содержать уже 1000000 точек (106), а в гиперкубе размерностью 10 и с длиной стороны, равной 1, — уже 1020 точек. Следовательно, чтобы при добавлении новых измерений выборка по-прежнему охватывала пространство должным образом (иными словами, чтобы плотность математического пространства оставалась неизменной), объемы выборок должны возрастать экспоненциально. Допустим, что мы хотим найти закономерности в результатах парламентских выборов и располагаем множеством данных об избирателях и их предпочтениях. Часть имеющихся данных, к примеру рост избирателей, возможно, не будет иметь отношения к результатам голосования. В этом случае лучше исключить переменную «рост», чтобы повысить плотность выборок избирателей в математическом пространстве, где мы будем работать.

Именно проклятие размерности стало причиной появления целого раздела статистики под названием отбор характеристик (англ, feature selection). В этом разделе изучаются различные математические методы, позволяющие исключить максимально большой объем данных, не относящихся к рассматриваемой задаче. Методы отбора характеристик могут варьироваться от исключения избыточной или связанной информации до исключения случайных данных и переменных, имеющих постоянное значение (то есть переменных, значения которых на множестве выборок практически не меняются). В качестве примера приведем переменную «гражданство».

Логично, что ее значение будет одинаковым для всех или почти всех избирателей, следовательно, эта переменная не имеет никакой ценности.

Чаще всего используется такой метод отбора характеристик, как метод главных компонент. Его цель — определение проекции, в которой вариация данных будет наибольшей. В примере, представленном на следующем рисунке, две стрелки указывают две главные компоненты с максимальной вариацией в облаке точек. Максимальная вариация указана более длинной стрелкой. Если мы хотим снизить размерность данных, то две переменные, откладываемые на осях абсцисс и ординат, можно заменить новой переменной — проекцией выборок на компоненту, указываемую длинной стрелкой.

На этом графике стрелки указывают направления, в которых вариация данных будет наибольшей.

* * *

* * *

Метод главных компонент заключается в поиске линейного преобразования, позволяющего получить новую систему координат для исходного множества выборок.

В этой системе координат первая главная компонента будет отражать наибольшую вариацию, вторая — следующую по величине вариацию и так далее. Число компонент может быть любым. Одно из преимуществ этого метода заключается в том, что на промежуточных этапах поиска компонент с наибольшей вариацией можно определить, какую часть вариации переменных объясняет каждая компонента. К примеру, первая главная компонента может объяснить 75 % вариации, вторая — 10 %, третья — 1 % и так далее. Так можно уменьшить размерность множества данных и при этом гарантировать, что новые измерения, которые придут на смену исходным, будут объяснять минимум вариации данных. Рекомендуется, чтобы вариация, в сумме описываемая выделенными компонентами, составляла около 80 %.

Несмотря на все преимущества и относительную простоту метода главных компонент (сегодня этот метод входит в стандартную поставку всех пакетов статистических программ), по мере увеличения числа измерений в модели сложность расчетов возрастает, и вычисления могут оказаться непосильными. В подобных случаях используются два других метода отбора характеристик: жадный прямой отбор (greedy forward selection) и жадное обратное исключение (greedy backward elimination). Оба этих метода обладают серьезными недостатками: они требуют выполнения огромного объема расчетов, при этом вероятность выбора наиболее подходящих характеристик невысока. Однако основная идея этих методов и ее реализация просты, а объем необходимых вычислений для большого числа измерений все же не так высок, как при использовании метода главных компонент. Это объясняет, почему жадный прямой отбор и жадное обратное исключение стали так популярны среди специалистов по интеллектуальному анализу данных.

* * *