Одним из позднейших его исследователей стал великий математик XVII века Пьер Ферма.
Не знаю, были ли высказанные некоторыми авторами мысли о родстве шахмат с магическим квадратом отголосками беседы Рериха с мудрецом в Гималаях или авторы эти самостоятельно пришли к аналогичным выводам, но для меня важно, что идеи эти уже высказывались. Так, в 1969 году в издательстве «Просвещение» вышла книга Н. Рудина (ждавшая своего издания более сорока лет!), она вызвала весьма противоречивые отклики. А еще в 1929 году в журнале «64, шахматы и шашки в рабочем клубе» появилась статья В. Нейштадта на ту же тему. Понадобилось судебное разбирательство, чтобы установить, что книга Рудина была написана ранее статьи Нейштадта (не указавшего источника).
Не моя задача установить этот источник! Я лишь, призывая воображение, переношусь в Гималаи.
Горы! Вокруг непостижимо чистый воздух, сквозь который даже далекие предметы кажутся близкими, а цвета скал ничем не смягчены.
Вот откуда бралась непостижимая палитра красок Н. К. Рериха! Склоны синие, желтые, резко граничащие, небо малиновое…
Такой пейзаж можно представить себе где-нибудь на Марсе с воздухом, разреженным до необычайности! Или на Луне с тенями резкими, как у Рериха, где грани горных образований ничем не сглажены.
Два человека, по-разному одетые, но чем-то похожие друг на друга, сидят по обе стороны шахматной доски.
Махатм говорит размеренно, неторопливо. Его движения замедленны, но уверенны:
– Слава мудрым! Ваши знатоки цифр познали тайны скопления цифр в квадратах. Но напрасно они именуют их «магическими». Магии нет в мире! Нет ее и в цифрах! Все в науках, как и в природе, определяется непреложными законами. Мы, живущие, способны лишь их выявлять. В цифровом квадрате (рис. 1), будем так называть его, числа расставлены в расчете, что их сумма в любом горизонтальном или вертикальном ряду всегда одна и та же.
Для квадрата «насик» с 64 клетками сумма равна 260. Это легко проверить. 1 + 58 + 3 + 60 + 63 + 8 + 6 + 61 = 260 или 28 + 21 + 12 + 5 + 36 + 45 + 52 + 61 = 260.
Махатм говорил на превосходном английском языке с безукоризненным произношением, правда, порой растягивая гласные, что придавало его речи певучесть.
– Ты не удивишься, мой мудрый друг, когда две соседние двойки дадут в сумме 4. Но расставить цифры в квадрате, чтобы сумма их во всех рядах и диагоналях была постоянной, куда сложнее. Честь вашим знатокам цифр, нашедшим формулы для решения таких задач. Но пока, к сожалению, лишь для квадратов с нечетным числом полей. «Насик» с его 64 клетками можно построить с помощью специальных фигур.
– Математических символов?
– Скорее «мер», которыми отмеряют расстояние между порядковыми цифрами. У нас в Шамбале поразились, узнав, что наши подсобные математические фигуры послужили для создания великомудрой игры, в которой противоборствуют умы. Восхищения достойна красота, рожденная мудростью. Это закономерно, ибо в основе красоты – порядок, целесообразность, совершенство. А математика со своими фигурами передала игре именно эти свойства.
– Какими же были эти старые фигуры?
– Им не требовалось иметь те удлиненные ходы, которые придали мудрой игре глубину. Но король (главная фигура) имел доступ ко всем прилегающим к его полю клеткам. Ферзь же ограничивался лишь соседним полем по диагонали. Слон (я применяю ваши, современные названия) был подвижнее и мог ходить через клетку по диагонали. Ладья же – через клетку по горизонтали или вертикали.
– А пешка или конь?
– Их ходы остались прежними, но пешка не имела права делать два хода с начального поля, а конь не перепрыгивал через фигуры. Не было в этом надобности. Если хочешь, построим «насик» с помощью этих фигур. Ты можешь записать ходы, как это делают шахматисты.
– Я слаб в шахматах. Тем более в записи.
– У тебя есть помощник с тетрадью. Итак, поставим на a1-1.
И он показал.[2]
– Итак, мудрый мой друг, «насик» готов наполовину. Не составит труда заполнить и оставшиеся поля. Тогда он отразит бесконечные законы математики.
– Бесконечные? – удивился Рерих.
– Он и сам станет бесконечным, как Вселенная, надо лишь уподобить его кругу, чтобы он соприкасался сам с собой всеми своими сторонами.
– Как это может быть?
– Очень просто. Сложи квадрат пополам по вертикальной линии между рядами «d» и «е». Полученную полоску с квадратиками полей сверни трубкой (рис. 156) и получишь кольцо. Поле а1 соседствует в нем с полем h1, на переходе с внешней стороны кольца на внутреннюю. Первый же горизонтальный ряд соприкасается с восьмым на обеих сторонах кольца. Как видишь, квадрат может примыкать к самому себе всеми сторонами. Я замечаю, ты все понял и даже нарисовал получившуюся фигуру в тетради ученика.
– Я смотрел на твой перстень, Учитель, и нарисовал его с цифрами на нанесенных квадратиках.
– Если бы ты на самом деле увидел на моем перстне цифры, ты принял бы его за талисман? Так знай: суеверие хуже религии, которая хоть в первоначальной форме основывалась на сотворении добра другим. Суеверие служит лишь для тебя самого.
– Ты поистине мудр, махатм!
– Я лишь тень нашей мудрости, обратившаяся к твоему народу со словами: «Привет вам, ищущим общего блага».
И он ушел, оставив Рериха размышлять обо всем услышанном.
Ушел, легко перепрыгивая с камня на камень, взбираясь все выше и выше, пока не скрылся исчезающей тенью в тумане, который со дна ущелья казался облаком.
На этом закончилась вызванная моим воображением картина, следствие которой, если хотите, можно рассматривать как гипотезу о чудесном математическом квадрате, что получается с помощью шахматных фигур.
Мы с Михаилом Николаевичем достроили его, заглядывая в старую тетрадь и подсчитывая суммы цифр вдоль и поперек, яростно щелкая на счетах, как заправские кассиры.
– Ну и что? – спросил я, откидываясь на спинку стула, – бухгалтерия ясна. Но при чем тут ваш алгоритм?
А я ведь тайно жаждал реванша с неведомой алгоритмической «машиной».
– Как при чем? – вспыхнул Михаил Николаевич. – Алгоритм вытекает из закономерностей, которые вы сейчас увидите.
– Какая связь? – пожал я плечами.
– Как вы не понимаете! – в отчаянии воскликнул Михаил Николаевич.
Мне даже стало жалко моего энтузиаста. Я ведь прикидывался, будто не понимаю, а на самом деле не прочь был овладеть алгоритмом. Чтобы выиграть у любого партнера? Что со мной? Ведь я всегда ценил в шахматах процесс игры, ее красоту, а не результат! Зачем же этот антихудожественный алгоритм? И в состоянии внутренней борьбы узнавал я о преследованиях шахматной жар-птицы.
– «Насик», – объяснял Михаил Николаевич, – обладает более совершенными свойствами, чем обычные магические квадраты.
В поисках алгоритма я проверил все…все!
«Сейчас проговорится!» – чуть ли не с опаской подумал я, не пропуская ни слова.
– В «насике» не только вертикальные и горизонтальные ряды, но также и любые диагонали, так остроумно превращенные махатмом в спирали, дают сумму цифр восьми полей равную 260! Но это далеко не все! Вокруг центрального квадратика из четырех полей (рис. 157) можно построить квадраты из 16, 36 и, наконец, из 64 полей. И сумма цифр угловых полей на всех этих квадратах будет 130! И все это построение можно сдвинуть в любую сторону. Ничего не изменится! (рис. 158) Самое интересное, что на «насик» можно нанести сетку прямоугольную (рис. 159) и сетку диагональную (рис. 160). В узлах, отмеченных на сетках, окажутся определенные цифры. Их сумма в любом квадрате из 2, 4, 6 и 8 полей в стороне всегда равна 130. Но есть еще особый случай: квадрат с пятью полями! (рис. 161) На первом ряду он отмечен полем е1 (на котором, заметим, поставлен белый король!). Это как бы золотое сечение: 5 полей и 3 поля слева и справа в горизонтальном ряду дают суммы два раза по 130! Такую же сумму 130 дают и узловые поля пятипольного квадрата, где бы он ни был расположен в «насике». Диагональная сетка выражена двумя прямоугольниками, – расположенными крест-накрест в каждой четверти (квадрата) «насика». Прямоугольники складываются из двух квадратов каждый.
