где m — масса одной из точек системы, v — ее скорость, ds — элемент пути, или, иначе говоря, бесконечно малый отрезок траектории точки т. К этому Лагранж добавляет, что ds = vdt (dt обозначает тот бесконечно малый промежуток времени, в течение которого точка т проходит путь ds), поэтому вместо m∫vds можно написать m∫v²dt или ∫mv²dt. Тут под знаком интеграла мы видим (удвоенную) живую силу точки, а так как нам надо взять сумму таких величин для всей рассматриваемой механической системы, то в итоге под знаком интеграла окажется (удвоенная) живая сила всей системы в любое мгновение. Таким образом, говорит Лагранж, рассматриваемый принцип сводится собственно к тому, что сумма живых сил всех тел от момента, когда они выходят из заданных точек, до того момента, когда они приходят в другие заданные точки, является максимумом или минимумом. Следовательно, этот принцип можно было бы с большим основанием назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы.

По мнению Лагранжа, такая формулировка имела бы то преимущество, что она была бы общей как для движения, так и для равновесия, поскольку в статике Лагранж доказывал, что при прохождении положения равновесия живая сила системы бывает наибольшей или наименьшей.

Лагранжу принадлежат также многочисленные работы по механике сплошной среды. В «Аналитической механике» немало места уделено гидростатике, гидродинамике, теории упругости. В этих разделах Лагранж систематизировал все результаты, полученные им и его предшественниками. В теории упругости Лагранж не располагал общими уравнениями (они были выведены позже, в 20-е годы XIX в.) и рассматривал равновесие и колебания около положения равновесия упругих тел одномерных или двумерных — типа нити, струны, мембраны. В гидродинамике Лагранж оперировал уравнениями для идеальной жидкости (т. е. совершенно лишенной внутреннего трения), выведенными для него Эйлером.

Математические трудности тут оказались настолько большими, что в общем случае Лагранж мог предложить только приближенный способ решения уравнения движения. Понадобилось немало времени, чтобы с помощью новых математических методов добиться дальнейших результатов там, где вынужден был остановиться такой гениальный ученый, как Лагранж.

Симеон Дени Пуассон (1781 —1840) — выдающийся французский механик, математик и физик, научная деятельность которого тесно связана с традициями Политехнической школы. Эта школа была ведущим высшим учебным заведением Франции, поступающие в нее отбирались по жесточайшему конкурсу, а к преподаванию были привлечены лучшие ученые Франции, среди них Монж, Лагранж, Лаплас, Лакруа, Фурье. С.Д. Пуассон в 1798 г. в возрасте 17 лет поступил в эту школу, пройдя первым по конкурсу. Еще будучи учеником школы, он представил свою первую научную работу «О числе полных интегралов уравнений с конечными разностями», которая по предложению академиков Лежандра и Лакруа была опубликована. По окончании в 1800 г. Политехнической школы Пуассон был оставлен при кафедре математического анализа, руководителем которой он стал в 1806 г. В 1809 г. Пуассон был назначен профессором рациональной механики в Сорбонне.

С момента окончания Политехнической школы и до конца жизни Пуассон вел преподавательскую работу в высших учебных заведениях Франции. В 1837 г. ему как члену Королевского совета было поручено руководство преподаванием математики во всех колледжах Франции. За выдающиеся научные заслуги Пуассон в 1812 г. был избран действительным членом Парижской академии наук, а в 1826 — почетным членом Петербургской академии наук. Многочисленные исследования Пуассона охватывают все области науки, которая в то время называлась чистой и прикладной математикой. Список его сочинений составляет свыше 350 работ (не считая отдельно изданных сочинений) — это значит, что с 1800 по 1840 г. он публиковал в среднем по девять работ в год. В отношении стиля и характера своих работ Пуассон следовал Эйлеру и Лагранжу, труды которых он знал в совершенстве.

В области математики большой интерес представляют работы Пуассона по определенным интегралам, по уравнениям в конечных разностях, по теории дифференциальных уравнений с частными производными (уравнение Пуассона, интеграл Пуассона), по теории вероятностей (распределение Пуассона, теорема Пуассона). Чрезвычайно велик был диапазон его интересов в области механики. Многочисленные работы Пуассона охватывают разнообразные проблемы теоретической и небесной механики, теории притяжения, гидродинамики, теории упругости, теории колебаний, баллистики и теории механизмов и машин.

Наиболее фундаментальные его труды посвящены вопросам аналитической механики и математической физики. В исследованиях Пуассона этого цикла сказалось влияние и аналитических методов Лагранжа (в особенности в небесной механике), молекулярных представлений Лапласа (гидродинамика, механика деформируемых сред) и научного наследия Эйлера.

В области небесной механики наибольший интерес представляют его труды, в которых рассматриваются вопросы устойчивости Солнечной системы и выводятся дифференциальные уравнения возмущенного движения. При выводе этих уравнений Пуассон применил метод, в котором ввел выражение, названное впоследствии скобками Пуассона, которое получило широкое применение во многих вопросах теории уравнений с частными производными и аналитической механики. Развив методы вариации произвольных постоянных Лагранжа, Пуассон получил в явном виде выражение вариации элементов орбиты небесного тела через производные пертурбационной функции по координатам для одного из шести элементов его орбиты.

В теории притяжения особый интерес представляют его статья «Замечания об уравнении теории притяжений» (1813) и два мемуара — «О притяжении сфероидов» (1829) и «О притяжении однородных эллипсоидов» (1835), в которых он выводит свое знаменитое уравнение с частными производными Δu = f, (где Δ — оператор Лапласа) — одну из основ теории потенциала.

Пуассон был одним из основоположников математической теории упругости. В 1819 г. он нашел решение уравнения теории упругости для одномерного случая, а в 1829—1831 гг. — для двумерного и трехмерного случаев. Его имя носит одна из основных констант теории упругости изотропных тел — коэффициент Пуассона, т. е. абсолютное значение отношения величины относительной поперечной деформации элемента тела к его относительной продольной деформации. Его вывод общего уравнения теории упругости сыграл существенную роль в теории колебаний и волн вообще и в исследовании звуковых волн в частности. В «Мемуаре об общих уравнениях равновесия и движения твердых тел и жидкостей» Пуассон впервые включил в систему дифференциальных уравнений движения жидкости уравнение теплопроводности. Его имя носит кривая, характеризующая обратимый адиабатический процесс в идеальном газе (адиабата Пуассона), уравнение которой Пуассон вывел в 1823 г.

Достижения Пуассона в области аналитической механики наиболее полно изложены в его двухтомном «Курсе механики», первое издание которого вышло в 1811 г. Этот труд, основанный на традициях Лагранжа и Лапласа, отличается в то же время большей доступностью и примерами из многих областей механики и смежных с ней разделов физики. Долгое время он был одним из лучших руководств по механике.

«Курс механики» состоит из четырех частей: статики, динамики, гидростатики и гидродинамики. В разделе статики Пуассон рассматривает условие равновесия «простых машин», с помощью которого переходит к общему закону равновесия тел. Этот закон он выводит, пользуясь принципом виртуальных перемещений, рассматривая как сами перемещения, так и проекции малых путей, описываемых точками приложения сил, на их направления. При изложении динамики Пуассон исходит из основных ее принципов: сохранения движения центра тяжести, сохранения площадей и живых сил. Исходя из последнего он показывает, почему при устройстве машин следует избегать явлений трения и удара тел. Пуассону аналитическая механика обязана и переходом от понятия обобщенных скоростей