Рис. 1.7. Использование опции VIEW/GRAPH/LINE для построения в EViews линейного графика LINE

В результате у нас получилась диаграмма (рис. 1.8), вполне аналогичная (если не считать различный тип форматирования) диаграмме на рис 1.2, построенной в Excel. Для того чтобы сохранить полученную диаграмму в EViews на отдельном листе следует нажать верхнюю кнопку FREEZE (окончательно принять).

Рис 1.8. График курса доллара, полученный в EViews

Таким образом, построив соответствующие графики в EViews и Excel, нам удалось выяснить, что временной ряд, характеризующий динамику ежемесячного курса доллара, является нестационарным, поскольку в нем наблюдается ярко выраженный тренд. Вместе с тем, как мы уже говорили ранее, нестационарный временной ряд содержит не только тренд, но и случайную компоненту. Следовательно, чтобы сделать адекватный прогноз по курсу доллара необходимо учесть как тренд, так и случайную компоненту, поскольку оба эти фактора существенно влияют на динамику валюты.

Схематично, наша дальнейшая работа, которой посвящены последующие главы этой книги, будет заключаться в следующем. Во-первых, нам нужно составить уравнение регрессии, с помощью которого можно будет делать прогнозы с необходимой точностью. Во-вторых, необходимо протестировать данное уравнение регрессии (прогностическую модель) на его адекватность с точки зрения прогностических качеств. В-третьих, надо составить точечные прогнозы по курсу американской валюты, используя полученную математическую модель. В-четвертых, нужно удостовериться в приемлемой точности составленных точечных прогнозов. В-пятых, необходимо убедиться, что получившиеся в результате отклонения фактического курса доллара от его предсказанных (расчетных) значений представляют собой стационарный ряд. В-шестых, надо посмотреть, является ли распределения остатков нормальным, что позволит нам впоследствии составить интервальные прогнозы – с учетом диапазона отклонений точечных прогнозов от фактического курса доллара – с определенным уровнем надежности. В-седьмых, нужно проверить, соответствует ли точность интервальных прогнозов заданному уровню надежности. В-восьмых, научиться применять полученную статистическую модель для составления рекомендуемых цен покупки и продажи валюты, используемых в качестве стоп-приказов при работе на валютном рынке. При этом выполнение всех этих процедур будет сопровождаться подробным рассказом о том, как их можно выполнить в Excel или EViews, что поможет нашим читателям впоследствии самостоятельно решать эти задачи.

1. Чем отличается строго стационарные процессы от стационарных процессов в широком смысле?

2. Может ли стационарный процесс иметь тренд или какие-либо строго периодические колебания?

3. Чем нестационарный процесс отличается от стационарного? Может ли у нестационарного процесса быть тренд?

4. Если Вы пришли к выводу о нестационарности данного временного ряда, то, что можно сказать об устойчивости его средней, дисперсии и автоковариации. Дайте определение средней, дисперсии и автоковариации.

Глава 2.

Метод наименьших квадратов и решение уравнения регрессии в Excel

Как мы выяснили в главе 1, динамика курса валют представляет собой временной ряд, имеющий не только тренд, но и случайную компоненту, поэтому в качестве метода оценки параметров прогностической модели, как правило, используется регрессионный анализ. Как известно, задачей регрессионного анализа является определение аналитического выражения (математической формулы), аппроксимирующего связь между зависимой переменной Y (ее называют также результативным признаком) и независимыми (их называют также факторными) переменными X1, X2…Xn. При этом форма связи результативного признака Y с факторами X1, X2…Xn, либо с одним фактором X, получила название уравнения регрессии. В качестве метода аппроксимации (приближения) в уравнении регрессии используется метод наименьших квадратов (МНК), который минимизирует сумму квадратов отклонений фактических значений Y от его предсказываемых значений, рассчитанных по определенной математической формуле. Причем, решение уравнения регрессии относительно интересующих нас переменных у (курс доллара) и х (время или порядковый номер месяца), по сути, заключается в подборе прямой линии к совокупности данных, состоящих из пар данных, характеризующих динамику курса доллара и соответствующие порядковые номера месяцев. При этом линию, которая лучше всего подойдет к этим данным, выбирают так, чтобы сумма квадратов значений вертикальных отклонений зависимой переменной (фактического курса доллара) от линии, рассчитанной по уравнению регрессии (предсказанный курс доллара), была минимальной.

Математические подробности оценки параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов

В самом общем виде формулу МНК можно представить следующим образом (2.1):

где Yt и Yрасч. – фактические и расчетные значения зависимой (результативной) переменной для различных моментов времени;

– минимальная сумма квадратов отклонений (остатков) фактических значений Y от его расчетных (предсказываемых) значений.

Поскольку Yрасч. =a +bX (где а – свободный член уравнения регрессии, а b – коэффициент регрессии), то уравнение (2.1) примет следующий вид (2.1.1):

Для отыскания параметров a и b, при которых функция f(a,b) принимает минимальное значение, необходимо найти частные производные по каждому из параметров этой функции a и b и приравнять их нулю. Если минимальную сумму квадратов отклонений (остатков) e2 обозначить через S, то в результате мы получим систему нормальных уравнений МНК для прямой (2.1.2):

Преобразовав систему уравнений (2.1.2) получим (2.1.3):

Решив систему уравнений (2.1.3) методом последовательного исключения переменных найдем следующие оценки параметров:

С помощью оцененного таким образом уравнения регрессии можно предсказать, как в среднем изменится признак Y в результате роста факторов X1, X2…Xt (или одного фактора X). В зависимости от того, какая математическая функция используется для прогнозирования результирующей переменной Y, различают линейную и нелинейную регрессию. При этом в основе линейной регрессии лежит уравнение линейного тренда, а в основе нелинейной регрессии – целое семейство уравнений нелинейных трендов (полиномиальный второй, третьей и прочих степеней, степенной, экспоненциальный, логарифмический и другие). В случае если результативный признак Y зависит от одного фактора X, то такое уравнение регрессии называется парным, а если Y зависит от нескольких факторов X1, X2…Xt – то уравнением множественной регрессии.