Похожие исследования продемонстрировали, что младенцы обладают и арифметическими навыками. В 1992 году Кэрин Винн из Университета Аризоны провела такой эксперимент. Она сажала пятимесячного младенца перед небольшим столиком. Взрослый клал на столик игрушечного Микки Мауса, а затем ставил экран, чтобы скрыть его. Потом взрослый клал перед экраном второго Микки Мауса, после чего экран убирали, так что становились видны обе игрушки. В другой раз Винн делала все то же самое, но только после того, как экран убирали, обнаруживалось неправильное число игрушек: или всего одна, или три. В случае, когда в конце на столике оказывались одна или три игрушки, ребенок рассматривал их дольше, чем когда их оказывалось две. Это означало, что ребенок удивлен неправильным числом. Дети понимают, заключает Винн, что одна игрушка плюс еще одна игрушка равно двум игрушкам.

Эксперимент, аналогичный эксперименту с Микки Маусом, проводили с разными игрушками, например с Элмо и Эрни, персонажами «Улицы Сезам». Элмо сажали на столик. Опускался экран. Затем позади экрана клали второго Элмо или Эрни. Экран убирали. Иногда на столике оказывались два Элмо, иногда Элмо и Эрни, а иногда один только Элмо или один Эрни. Дети рассматривали игрушки дольше, когда оставалась только одна кукла, чем когда оставались две неправильные куклы. Другими словами, арифметическая невозможность равенства 1 + 1 = 1 беспокоила их гораздо сильнее, чем превращение Элмо в Эрни. По-видимому, знания детей о законах математических гораздо глубже, чем знания о законах физических.

Швейцарский психолог Жан Пиаже (1896–1980) утверждал, что младенцы строят восприятие чисел медленно, через опыт, так что нет смысла обучать арифметике детей младше шести или семи лет. Эта точка зрения оказала влияние на поколения учителей, которые нередко предпочитали, чтобы дети на занятиях просто играли в кубики, чем знакомились с формальной математикой. Сейчас взгляды Пиаже считаются устаревшими. В наше время дети усваивают арабские цифры и учатся решать примеры уже в самых младших классах.

Эксперименты с точками играют ключевую роль и в исследованиях числовой когнитивности взрослых. В классическом опыте испытуемому показывают точки на экране и спрашивают, сколько он их видит. В случае одной, двух или трех точек ответ всегда следует практически немедленно. Когда же точек четыре, ответ занимает существенно больше времени, и еще больше — если точек пять.

И что же? — спросите вы. Возможно, этим скорее всего объясняется, почему в ряде культур числительные для 1, 2 и 3 содержат одну, две и три линии, тогда как число 4 не представляется четырьмя линиями. Когда имеется три или меньшее число линии, мы можем немедленно сказать, сколько их, но, когда их четыре, нашему мозгу задается слишком серьезная задача. Китайские иероглифы для чисел от 1 до 4 имеют вид

, ,  и . Древние индийские числительные выглядели как , ,  и . (Если соединить здесь кое-какие линии, то будет видно, как они превращаются в современные 1, 2, 3 и 4.)

На самом деле не ясно, каково число линий, которые мы можем зафиксировать мгновенно, — три или четыре? У римлян в действительности были два возможных способа написания четверки — IIII и IV. Зрительно намного быстрее распознается IV, но на циферблатах часов — быть может, по эстетическим причинам — имеется тенденция использовать IIII. Без сомнения, число линий, точек или саблезубых тигров, которое мы можем распознать быстро, уверенно и точно, — не более четырех.

При том что у нас есть точное ощущение чисел 1, 2 и 3, за пределами числа 4 наши способности ослабевают и суждения о числах становятся приблизительными. Попробуйте, например, быстро определить, сколько точек здесь изображено:

Это невозможно. (Не считая того случая, когда вы — аутист с незаурядными умственными способностями, как персонаж Дастина Хоффмана в фильме «Человек дождя», который мог бы через долю секунды сказать «семьдесят пять».) Все, что нам доступно, — это оценка, и она вполне может оказаться неточной.

Исследователи протестировали, насколько далеко простирается наше интуитивное восприятие чисел. Добровольцам показывали картинки с различным числом точек и спрашивали, на какой картинке точек больше. Оказалось, что умение распознавать точки подчиняется регулярным закономерностям. Например, легче выявить различие между группой из 80 точек и группой из 100 точек, чем между группами из 81 и 82 точек. Аналогичным образом, легче провести различие между группами из 20 и 40 точек, чем между группами из 80 и 100 точек. Кроме того, ученых на самом деле очень удивляет, сколь строго наши способности к сравнению следуют математическим законам, таким как принцип мультипликативности. В своей книге «Чувство числа» французский специалист по когнитивным наукам Станислас Деэн приводит пример человека, который может отличить группу из 10 точек от группы из 13 точек с 90-процентной точностью. Если же число точек в первой группе удвоить, так что их станет 20, то сколько точек надо включить во вторую группу, чтобы этот человек по-прежнему различал их с 90-процентной точностью? Ответ: 26, то есть в точности удвоенное значение исходного числа во второй группе.

Животные также обладают способностью сравнивать группы точек. Хотя результаты у них далеко не такие высокие, как у нас, их умениями управляют, по-видимому, те же математические законы. Это довольно нетривиальная вещь. Люди — единственные, кто обладает прекрасно развитой системой счета. Наша жизнь заполнена числами. И тем не менее, при всех наших математических талантах, когда дело доходит до восприятия и оценки больших чисел, наш мозг функционирует в точности как мозги наших пернатых и мохнатых друзей.

Интуитивные человеческие представления о величинах непрерывно развивались в течение миллионов лет, и в конце концов в жизни людей появились числа. Нет возможности в точности узнать, как это произошло, но разумно допустить, что числа возникли из желания отслеживать количество самых разных вещей, таких как луна, горы, хищники или удары в барабан. Сначала, по-видимому, использовались наглядные символы, к примеру пальцы или засечки на деревяшке, находящиеся во взаимно-однозначном соответствии с самими объектами, подлежащими отслеживанию, — две засечки или два пальца для двух мамонтов, три засечки или три пальца — для трех и т. д. Позднее появились слова, выражавшие идеи «двух зарубок» или «трех пальцев». По мере вовлечения все новых и новых объектов, за количеством которых надо было следить, словарный запас расширялся и появлялись новые символы для чисел, так что в конце концов — если перескочить прямо к нашему времени — мы получили полностью развитую систему точных чисел и теперь можем ни в чем себе не отказывать, если хотим что-либо посчитать. Наши способности оперировать точными числами, например возможность подсчитать, что на приведенной выше картинке имеется в точности 75 точек, как нельзя более тесно связаны с более фундаментальной способностью воспринимать подобные величины приблизительно. Мы выбираем, какой стратегии придерживаться, в зависимости от обстоятельств: в супермаркете, например, пользуемся нашими знаниями о точных числах, когда смотрим на цену продуктов. Но, решая, в какую кассу самая короткая очередь, мы используем наше интуитивное, оценочное восприятие. Мы не пересчитываем всех людей в каждой очереди — просто смотрим на имеющиеся очереди и оцениваем, в какой из них меньше людей.