— Вы знакомы с мемуаром Лобачевского «Геометрические исследования»? Предложение казанского геометра я считаю одной из гипотез, лежащих в основании геометрии.

Да, Риман знаком с работами Лобачевского, восхищен ими, хотя и не понимает, почему русский математик так легко отбросил «теорию тупого угла». Изыскания самого Гаусса и Лобачевского и побудили Римана включить в список тему «О гипотезах». Он много размышлял о так называемых «многократно протяженных многообразиях», а также о «теории тупого угла» Саккери и Ламберта. Неэвклидовых геометрий может быть несколько.

Гаусс заинтригован.

— Да, да, я обязательно приду на вашу лекцию, господин Риман. А мемуар Лобачевского все-таки возьмите, проштудируйте еще раз.

— Весьма признателен, господин тайный советник.

Каков тон! «Многократно протяженные многообразия»… Что бы это могло значить?

10 июня 1854 года в заседании философского факультета Геттингенского университета Риман прочитал вводную лекцию «О гипотезах, лежащих в основании геометрии».

Все, что он говорил, лежало на грани здравого смысла. Во всяком случае, профессора ничего не поняли. Многие из них, не будучи математиками, не восприняли то, что уже давно витало в воздухе, ожидая кристаллизации. Это была идея многомерной геометрии.

Риман глубоко усвоил достижения Лобачевского и Гаусса и пошел дальше.

Например, Риман выдвинул свой постулат: через точку, взятую вне прямой, нельзя провести ни одной параллельной линии к данной прямой! И создал свою геометрию.

В этой геометрии параллельных линий нет совсем, а сумма внутренних углов треугольника больше двух прямых; различные перпендикуляры к прямой не параллельны (как в эвклидовой геометрии) и не pacxoдятся (как в геометрии Лобачевского), а пересекаются; все прямые — замкнутые линии. То, что в такой геометрии нарушаются и другие аксиомы Эвклида, а не только один пятый постулат, мало смущало Римана. А почему бы новой геометрии не иметь свои собственные аксиомы, отличные от эвклидовых?

Замкнутость прямой влечет за собой признание замкнутости, конечности плоскости, поверхности или пространства. На какой же поверхности реализуется эта диковинная геометрия? Оказывается, планиметрия Римана может быть истолкована при помощи обыкновенной геометрии на поверхности сферы.

Спрашивается: зачем было городить огород и открывать то, что давным-давно открыто Гауссом и другими? Ведь Гаусс уже создал геометрию кривых поверхностей, в том числе и сферы.

Но все дело в том, что Гаусс стремился понять законы внутренней геометрии той или иной поверхности, а Римана волновала загадка пространства. Он вслед за Лобачевским показал, что метрика пространства зависит от характера действующих сил. Эллиптическая геометрия может осуществляться не только на поверхности сферы, но и в трехмерном пространстве.

Что такое пространство? Почему пространство Лобачевского и пространство Римана отличается от эвклидова пространства? Что означает, к примеру, отклонение суммы внутренних углов треугольника от 180°? При измерении поверхностей оно означало меру кривизны той или иной поверхности. Но может ли быть искривлено пространство? Как это наглядно можно было бы себе представить?

Пространство, физическое трехмерное пространство искривлено, и лишь в бесконечно малых областях его можно считать плоским, неискривленным, эвклидовым! — вот к такому выводу приходит Риман. Мерой отличия любого пространства от эвклидова является кривизна.

Уже Лобачевский близко подошел к мысли о кривизне пространства. Он вопреки Ньютону считал, что в мире пустоты не существует; все тела в природе можно представлять частями одного целого — пространства. Пространство есть протяженность, присущая всем телам, кроме того, оно обладает структурой. Соприкосновение тел как форма их взаимодействия образует основу пространственных отношений. Может ли материальная протяженность быть искривленной? По-видимому, да. Как уже отмечалось, понятие кривизны поверхности — этого двумерного пространства, если мы не выходим за ее пределы, не является наглядным. Также не является наглядным и понятие кривизны трехмерного пространства. А выйти за его пределы мы не в состоянии, так как в природе не существует четвертого геометрического измерения. Во всяком случае, три измерения выражают всю полноту связи сосуществующих явлений.

Эвклидово пространство можно считать плоским, обладающим нулевой кривизной; пространство Лобачевского имеет отрицательную кривизну, Римана — положительную.

— Какова же истинная геометрия физического пространства? Это можно установить только опытным путем, — повторяет Риман вслед за Лобачевским.

Геометрия реального мира есть вопрос физический.

Человечество могло поздравить себя: оно стало обладателем трех геометрий — плоской эвклидовой, гиперболической Лобачевского и эллиптической Римана! Три пространства со своей внутренней геометрией. Это в полном смысле трехмерные физические пространства, и в каждом существуют свои типы поверхностей: в эвклидовом — поверхность шара, плоскость; в пространстве Лобачевского — плоскость, на которой осуществляется гиперболическая геометрия, поверхность шара и некая предельная поверхность, несущая на себе планиметрию Эвклида. Есть свои поверхности и у риманова пространства.

Но Риману всего этого показалось мало: он решил создать еще одну геометрию — общую, которая включала бы в себя все мыслимые геометрии, причем наиболее простые из них — три нам уже известные. Оказывается, геометрий может быть бесчисленное множество. Стоило Лобачевскому сдвинуть многовековой обомшелый камень, как геометрии посыпались, словно из рога изобилия.

Риман стал творцом геометрии множеств. Что такое множество или многообразие? Это совокупность чего-либо, коллектив вещей, понятий, идей, числовые группы. Всякая поверхность, например, не что иное, как двумерное множество, так как каждый элемент, точка определяется здесь двумя координатами; физическое пространство — трехмерное множество — оно имеет три измерения; совокупность всех окружностей на плоскости — тоже трехмерное множество: каждый ее элемент — окружность — определяется координатами центра и радиусом.

Множество может состоять и не из геометрических элементов: рой несущихся в пространстве и времени материальных частиц — четырехмерное множество. Можно строить геометрию кругов, шаров, множества цветов, звуков, роя частиц и т. д. Нужно только найти для каждого множества свое мероопределение. То есть геометрия свойственна не только реальному пространству, а любому множеству; ее следует рассматривать не как абсолютно точную геометрию реального пространства, а как приближение, модель форм и отношений этого пространства. Риман приходит к понятию кривизны многообразия. Всякое многообразие имеет свою кривизну. Одна и та же геометрия может иметь несколько истолкований, если она находит свое осуществление на нескольких различных множествах.

В понятие многомерности «римановых пространств» не следует вкладывать ничего мистического: ведь это всего-навсего «идеальные» математические «пространства». Совокупность звуков является двумерным многообразием лишь потому, что они отличаются амплитудой и частотой колебаний; в кинетической теории газов применяют пространство 36×10²³ измерений. Риман расщепил пространство на его малые элементы и показал, как из упрощенной метрики элемента, точки разворачивается метрика всего физического пространства.

Пространства Эвклида, Лобачевского, эллиптическое Римана имеют постоянную кривизну; общая геометрия Римана не может обладать постоянной кривизной.

Как видим, Риман мыслил весьма непрямолинейно. Он довершил дело, начатое Лобачевским. Остальным математикам осталось лишь отыскивать все новые и новые множества. Из идей Лобачевского и Римана впоследствии родился четырехмерный мир теории относительности.

Всю эту ученую тарабарщину Гаусс слушал, расплываясь в блаженной улыбке. Наконец-то нашелся достойный ученик, преемник! Предел изощренности. Тут уж все кривое: даже цвета и звуки. А Гаусс обожал кривизну, особенно в математике. Кривизна многообразия… Уплотненность математической мысли Римана поразила «геттингенского колосса», и он из недоброжелателя превратился в поклонника и покровителя крепнущего гения.