С тех пор «колосс» решил не связываться больше с «беотийцами».

Да, на неэвклидову геометрию Гауссу не повезло с самого начала. Тогда он решил создать дифференциальную геометрию — внутреннюю геометрию кривых поверхностей.

Любая поверхность несет в себе свою собственную геометрию; однако эта геометрия никоим образом не определяет несущую ее поверхность: при помощи изгибания можно получить бесконечно много поверхностей, разных по форме, но с общей внутренней геометрией. Например, листу бумаги легко придать цилиндрическую форму. Так же легко развернуть цилиндр на плоскость. Сумма углов треугольника на плоскости и на поверхности цилиндра всегда одинакова. Таким образом, мы наглядно доказываем, что кусок плоскости и некоторая часть цилиндра имеют одинаковую внутреннюю геометрию. Наложить лист на глобус или на седловидную поверхность нам не удастся: в первом случае образуются складки, во втором — разрывы. Следовательно, у плоскости, сферы и гиперболического параболоида разные внутренние геометрии. Само собой разумеется, что кривизна плоскости равна нулю (на то она и плоскость!); кривизна сферы определяется радиусом, ее принято называть положительной (хотя бы потому, что сумма углов треугольника на поверхности сферы всегда больше 180°); существуют поверхности, где сумма углов треугольника меньше двух прямых — их называют поверхностями отрицательной кривизны; сюда можно отнести гиперболический параболоид или седло.

Одним словом, каждая поверхность имеет свою геометрию.

В повседневной практике о свойствах той или иной поверхности мы судим с точки зрения жителя трехмерного пространства. Мы говорим: шар, плоскость. Но, оказывается, можно также отыскивать внутренние свойства самой поверхности безотносительно к ее внешнему положению, так сказать, не выходя за ее пределы. Произведем маленький мысленный эксперимент. Поверхность есть не что иное, как пространство двух измерений. Пусть на поверхности шара обитают некие двумерные существа, не имеющие никакого представления о третьем измерении. Поверхность сферы будет их пространством, их «плоскостью»; измеряя треугольники на своей «плоскости», они каждый раз убеждаются в том, что сумма внутренних углов треугольника больше 180°. Это незыблемый закон их пространства. Им и в голову не придет, что могут существовать другие поверхности — такие, скажем, как стол, седло. На поверхности шара нет прямых линий, но гипотетические двумерные существа упрямо будут считать свои кривые прямыми, так как в их мире это кратчайшие линии, геодезичесские, как их принято называть. Всякого дерзнувшего утверждать, что их «пространство» искривлено и представляет поверхность сферы, они сочтут безумцем. Им никогда не выйти из двумерности своего мира.

Как видим, понятие кривизны поверхности, пока мы не выходим за ее пределы, не является чем-то наглядным. Мы могли бы продолжить эксперимент: населить двумерными существами плоскость. Можно ли дать обитателям плоскости представление о кривизне? Да, можно. Пусть плоская поверхность в одной области доступного им пространства по каким-то причинам деформировалась, вспучилась, сделалась сферической. Обитатели плоскости обнаружат, что в этой области сумма углов треугольника больше 180°. По отклонениям суммы углов треугольника от двух прямых они и будут судить о кривизне, о мере «неэвклидовости» своего пространства, вкладывая в понятие кривизны лишь метрические соотношения — и ничего более.

По замечанию Гельмгольца, Гаусс установил геометрию поверхности в том виде, в каком ее строил бы обитатель этой поверхности, которому недоступно третье измерение пространства.

Гаусс не производил мысленных опытов. Создавая геометрию кривых поверхностей, он имел в виду лишь свои многолетние геодезические измерения и не отождествлял поверхность с пространством.

Все последние годы он проводил в своей башне и ничего не хотел знать о своих учениках. А они настойчиво стучались в дверь, несли скороспелые мемуары, требовали внимания.

Зимой 1847 года «король математики», наконец, вышел из себя.

В святая святых, в башню Гаусса ворвался студент Геттингенского университета, некто Бернгард Риман. Сын бедного провинциального священника, Риман, не желая изучать теологию (к чему побуждал его отец), бежал в Геттинген. Конечно же, в кармане у него лежал совершенно гениальный доморощенный мемуар «Опыт обобщения действий интегрирования и дифференцирования». Риман осознавал свое исключительное математическое дарование, мечтал завоевать мир, а потому сразу же сунулся к «колоссу».

Гаусс с недоумением разглядывал смельчака: впалая грудь, впалые щеки, реденькие волосы на голове, близорукие глаза. Все время щурится. А тот, кто имеет привычку щуриться, быстро теряет зрение.

— Я Бернгард Риман, — представился юноша таким тоном, словно кому-кому, а «королю математики» следовало бы уж давно знать это звучное имя. — Я проштудировал ваши «Общие изыскания о кривых поверхностях» и был поражен глубиной мысли… Превосходная работа!

— А я и не подозревал, — ответил Гаусс сухо. — Мне лестно слышать ваш отзыв, господин… м… м…

— Риман!

— Вот именно. А теперь перейдем к делу. Вы принесли на отзыв свой мемуар, не так ли?

Риман смутился.

— В некотором роде да.

— Молодой человек! — сказал «колосс» резко. — Вам двадцать лет, а мне семьдесят. Я не хочу обкрадывать вас, но и вы не должны…

Риман понял. Он побелел, сжал зубы. Повернулся и ушел. Наутро он оставил Геттингенский университет, уехал в Берлин. Гаусс оттолкнул еще одного гения, который мог бы стать самым преданным его учеником. В Берлине Риман обратил на себя внимание выдающегося математика Дирихле, позднее свел знакомство с Гельмгольцем.

Риман был своеобычным молодым человеком. Его интересовало буквально все. Так, в письме брату, Вильгельму, почтмейстеру в Бремене, он сообщает: «Я снова взялся за исследования по связи между, электричеством, гальванизмом, светом и тяготением и продвинулся настолько, что смогу, безусловно, опубликовать их в нынешней редакции. Между прочим, я имею подтверждение сведений, что уже много лет Гаусс занимается теми же вопросами и теперь сообщил об этом нескольким друзьям, в том числе Веберу, однако с обязательством сохранения тайны. Надеюсь, что еще не поздно и что можно будет установить, что все это найдено мною независимо от Гаусса. Пишу тебе без опасения, что ты бросишь мне упрек в неуместной заносчивости».

Молодой, увлекающийся, впечатлительный и разносторонний, Риман занимался вопросами топологии, теории функций, математической физикой, газовой динамикой, психологией, написал «Новые математические принципы натурфилософии», в которых предвосхитил теорию Максвелла; под влиянием Гельмгольца составил работу о механизме уха и глаза. Он был поэтом, хотя и не писал стихов: ему хотелось считать, что небесные тела, в том числе и Земля, одушевлены. Он мечтал получить кафедру в Берлинском университете и начать деятельность большого размаха, стать главой школы в области интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных и математической физики. Он чувствовал избыток сил, грандиозные планы переполняли его. Он замыслил построить вполне законченную математическую теорию, которая, исходя из элементарных законов взаимодействия отдельных точек, охватила бы все процессы, происходящие в окружающем нас физическом непрерывном пространстве, независимо от того, идет ли речь о тяготении, электричестве, магнетизме или равновесии тепла.

Прошло много лет, и вот Риман вновь в Геттингене. Он успешно защитил докторскую диссертацию, где содержалась целая программа научных исследований в области аналитических функций, указывающая один из путей развития этой теории на целое столетие.

Но Гаусс верен себе: он слышать не желает о «самоучке». Какое дело семидесятисемилетнему Гауссу до Римана? Говорят, этот Риман тяжело болен, харкает кровью. Что из того?

И все же иметь дело с Риманом Гаусс вынужден. Риману по существующим правилам следует вступить в профессорскую общину. А для этого он должен прочитать перед факультетом пробную лекцию. Тему утверждает Гаусс. Они снова встречаются. Риман отпустил усы и бороду. В свои двадцать семь лет он выглядит весьма солидно. Никаких воспоминаний. Холодная вежливость. Подобная сдержанность импонирует Гауссу. Риман представил три темы. Гаусс рекомендует взять самую сложную: «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Ему интересно знать, как выпутается из всего этого «бородатый мальчишка-самоучка».