422

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ ми которых являются индивиды, напр., «+», «возраст», «расстояние от... до ...»). Иногда в алфавит языка логики предикатов добавляют пропозициональные переменные (р, q, г, - ) __ аналоги простых высказываний естественного языка, исходя из буквального понимания тезиса о том, что логика предикатов является расширением логики высказываний. Однако данное добавление не является необходимым: при желании в качестве пропозициональных переменных можно разрешить использование нульместных предикаторных констант. Техническими символами алфавита являются левая и правая скобки и запятая. Выражением языка логики предикатов называется любая конечная последовательность символов ее алфавита. Некоторые из этих выражений являются правильно построенными, а некоторые нет. В логике предикатов имеется два типа правильно построенных выражений — термы и формулы. Понятие «терма» вводится следующим индуктивным определением: (1) всякая предметная переменная — терм; (2) всякая предметная константа — терм; (3) если Ф — л-местная предметно-функциональная константа, и t,, t2,..., tn — термы, то выражение 0(t,, t2,..., tn) является термом; (4) ничто иное термом не является. Среди термов различают простые (указанные в пунктах (1) и (2) данного определения), и сложные (указанные в пункте (3)), а также замкнутые (не содержащие в своем составе предметных переменных) и незамкнутые (содержащие переменные). Замкнутые термы являются аналогами имен естественного языка (как простых, так и сложных), а незамкнутые — аналогами т. н. именных форм (выражений с переменными, которые могут быть преобразованы в имена с помощью подстановки конкретных имен на места переменных, напр., «рост х», «х х 5», «разница в возрасте между х и у»). Понятие формулы также определяется индуктивно: (1) если П — л-местная предикаторная константа, и t, t2,..., t — термы, то выражение n(tpt2,...,tn) является формулой; (2) если А — формула, то -тА — формула; (3) если А и В — формулы, то выражения (АлВ), (AvВ), (Аз В) также являются формулами; (4) если А — формула, и а — предметная переменная, то выражения Va А и За А также являются формулами; (5) ничто иное формулой не является. Внешние скобки в формулах обычно опускают. Заметим, что в определениях терма и формулы используются т. н. синтаксические переменные (А, В, a, t,, t3,..., tn, Ф, П) — переменные метаязыка, пробегающие по различным типам выражений объектного языка. Формулы, соответствующие пункту (1) определения, называют простыми, или атомарными, а все остальные формулы (которые содержат по крайней мере один логический символ) — сложными, или молекулярными. Различение замкнутых и незамкнутых формул требует предварительного введения нескольких синтаксических понятий. Подформула А в составе формул вида Va А и За А называется областью действия квантора ( V или 3 ) по переменной а. Конкретное вхождение некоторой переменной в некоторую формулу называется связанным, если это вхождение следует непосредственно за квантором или же находится в области действия квантора поданной переменной; в противном случае вхождение переменной называется свободным. Переменная а. свободна в формуле А, если и только если существует свободное вхождение a в А; переменная асвязана в формуле А, если и только если существует связанное вхождение a в А. (Иногда при формулировке языка логики предикатов свободные и связанные переменные различают уже на этапе задания его алфавита, для них используют различные списки символов. В таком случае разрешается квантификация только связанных переменных, а свободные переменные выступают в роли неквантифицируемых индивидных параметров.) Формула называется замкнутой, если она не содержит свободных вхождений предметных переменных; в противном случае она является незамкнутой. Замкнутые формулы являются аналогами высказываний естественного языка (результатом символической записи любого высказывания является именно замкнутая формула), поэтому их иногда называют предложениями языка логики предикатов. Незамкнутые формулы соответствуют т. н. пропозициональным формам — выражениям естественного языка с переменными (напр., «х выше у», «х смелый»), из которых могут быть образованы вы- сказыванияпосредствомопераций константного или квантор- ного замыкания (напр., «Эверест выше Арарата», «Существует х такой, что je смелый»). Семантическое построение классической односортной логики предикатов первого порядка может осуществляться различными способами. Сформулируем наиболее естественную, теоретико-множественную объектную семантику описанного выше языка. Первый этап ее построения — задание класса допустимых интерпретаций нелогических символов языка. С этой целью выбирается некоторое множество U, называемое областью интерпретации (универсумом); единственным ограничением, накладываемым на U, является требование его непустоты. Приписывание значений нелогическим символам релятивизи- руется относительно выбранной предметной области. Его можно осуществить посредством специальной интерпретирующей функции I. Эта функция сопоставляет произвольной предметной константе к некоторый объект из универсума U: I(k) е U (при этом становится очевидным, что предметные константы имеют тот же тип значений, что имена естественного языка, и могут рассматриваться в качестве параметров последних), п-местной предикаторной константе П в качестве значения обычно приписывают экстенсионально понимаемые свойство или отношение на U, т. е. некоторое множество упорядоченных л-ок объектов из универсума: 1(П) c Un(Un —n-ная декартова степень множества U). Имеется и другая возможность — сопоставить константе П n-местную функцию, аргументами которой являются элементы универсума, а возможными значениями И («истина») и Л («ложь»): 1(П) есть функция типа Un —» {И,Л}. Во втором случае предикаторные константы рассматриваются как знаки предметно-истинностных функций. Произвольной n-местной предметно-функциональной константе Ф интерпретирующая функция сопоставляет в качестве значения n-местную операцию, заданную на множестве U (ее аргументами и значениями являются элементы универсума): 1(Ф) есть функция типа Un —> U. Интерпретирующую функцию I, релятивизированную относительно некоторой предметной области U, а точнее — пару <U, 1>, называют моделью или возможной реализацией. Выбор конкретной модели детерминирует значения всех замкнутых термов и замкнутых формул языка логики предикатов. Для определения значений незамкнутых термов и формул необходимо дополнительно зафиксировать, распределить значения предметных переменных (таковыми, как и для предметных констант, являются элементы универсума). Следующим этапом семантического построения логики предикатов является формулировка точных правил установления

423

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ значений правильно построенных выражений ее языка (т. е. термов и формул) в рамках выбранных модели <U, I> и распределения ф значений предметных переменных. Значениями термов в <U, I> при <р являются объекты из U. Значения предметных констант и переменных уже определены посредством функции I и <р соответственно. Значением сложноготермаФО,, t,, ...,1п)являетсятотобъектизи, который представляет собой результат применения операции 1(Ф) к n-ке значений (в этой же модели и при этом же распределении) термов t,, tj,..., tn. Пусть, напр., в качестве универсума выбрано множество натуральных чисел, предметно-функциональная константа f проинтерпретирована как операция сложения, а предметные константы а и b как числа 2 и 3. Тогда значением терма f(a,b) в соответствующей модели будет результат сложения 2 и 3, т. е. число 5. Формулы языка логики предикатов принимают в модели <U, 1> при распределении <р ровно одно из двух значений — И или Л. Атомарная формула вида П(т,, t^..., tn) принимает — при трактовке предикаторных констант как знаков экстенсионально понимаемых свойств и отношений — значение И, если и только если n-ка значений (в данной модели и при данном распределении <р) термов t,, t^,..., tn действительно находится в отношении ЦП), когда п > 1, или обладает свойством 1(П), когда п = 1. Если же предикаторные константы интерпретируются как знаки предметно-истинностных функций, то n(t,, tj,..., tn) примет значение И в том и только в том случае, когда результат применения подобной функции 1(П) к указанной n-ке объектов даст И. В упомянутой в предыдущем примере конкретной модели и при интерпретации пре- дикаторной константы R как отношения «меньше» формула R(a,b) примет значение И, т. к. 2 действительно меньше 3, а формула R(b,a) — значение Л, посколысу 3 не находится в указанном отношении к 2. Условия истинности и ложности формул, главными знаками которых являются пропозициональные связки, сохраняются (с необходимой привязкой к <U, I> и <р) такими же, как в классической логике высказываний. Семантические определения для кванторных формул таковы: V аА (соответственно 3 аА) истинна в модели <U, I> при распределении <р, если и только если ее подкванторная часть А принимает значение И в той же модели при любом (при некотором) распределении у значений предметных переменных, отличающемся от ф не более, чем значением gl Другими словами: формула V аА истинна в том случае, когда А оказывается истинной, какой бы объект из U мы ни приписали в качестве значения переменной а (сохранив при этом значения остальных переменных), а В аА истинна, если в универсуме найдется такой объект, что при сопоставлении его в качестве значения переменной а формула А оказывается истинной. Завершающим этапом в построении логики предикатов является введение понятии закона этой теории (общезначимой формулы) и различных логических отношений между формулами. Наиболее важным из них является отношение логического следования (см. Следование логическое), поскольку его наличие составляет критерий корректности дедуктивных умо- Говорят, что формула значима (истинна) в модели <U, I> при некотором распределении <р значений предметных переменных, если и только если данная формула принимает значение И в этой модели при этом распределении. Формулу называют значимой (истинной) в модели <U, I>, если она значима в ней при любом распределении элементов U предметным переменным. Формула называется общезначимой на множестве U (U-общезначимой), если она значима в каждой модели с универсумом U. Формула называется универсально общезначимой (или просто — общезначимой), если она общезначима на любом (непустом) множестве. Факт общезначимости формулы А обычно выражается в метаязыке следующей записью: |==А. Общезначимые формулы — это законы логики предикатов, поскольку они истинны при любых допустимых в данной теории интерпретациях нелогических символов. Конкретизация понятия логического следования в логике предикатов осуществляется следующим образом: из множества формул Г логически следует формула В (Г |= В), если и только если в любой модели и при любом распределении значений предметных переменных, при которых истинна каждая формула из Г, формула В также примет значение «истина». В сформулированном выше семантическом варианте правила установления значений формул имеют отчетливо выраженную объектную направленность: они предполагают, что при решении вопроса об истинности или ложности происходит соотнесение выражений языка с нелингвистическими сущностями (индивидами, свойствами, отношениями, функциями, связанными с некоторой предметной областью). Альтернативой объектной интерпретации формул языка логики предикатов является т. н. подстановочная интерпретация. Смысл ее состоит в формулировке таких критериев истинности и ложности предложений языка, которые бы не предполагали соотнесения последних с внеязыковой действительностью, а опирались бы только на информацию о значениях элементарных, атомарных предложений (в подобном стиле обычно строится логика высказываний, где при установлении значений формул необходимо лишь, чтобы каким-то — неважно каким—образом былоосуществленораспределение значений для пропозициональных переменных). Т. о., при подстановочной интерпретации мы, скорее, имеем дело не с обычной трактовкой истины как соответствия предложений действительности, а с тем, что иногда называют «истинностью в теории», где теория понимается, по существу, в синтаксическом аспекте — как дедуктивно замкнутое множество предложений языка. Технически «подстановочная» семантика логики предикатов может быть сформулирована следующим образом. Значения здесь естественно сопоставлять лишь замкнутым формулам, поскольку именно эти формулы представляют собой предложения теории и могут оцениваться как истинные или ложные в ней. Задается функция оценки V, отображающая множество замкнутых формул вида n(t(, t^..., tn) на множество {И J1} (содержательно — Ураспределяет значения для элементарных предложений языка теории). Правила установления значений замкнутых формул видов -А, Ал В, A v В, А=> В — стандартные. Формула V аА (соответственно ЗаА) примет значение И при оценке V, если и только если данное значение при V имеет любой (соответственно по крайней мере один) результат подстановки в формулу А замкнутого терма t вместо всех свободных вхождений переменной а (содержательно — общее (частное) предложение истинно в теории, если и только если соответствующее бескванторное утверждение справедливо дли любого (хотя бы для одного) сингулярного термина, принадлежащего словарю данной теории). Класс замкнутых формул, принимающих при оценке V значение И, как раз и представляет собой некоторую теорию в описанном выше