416

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ щая процедура для тавтологий, получаем, что проблема выводимости произвольной формулы В из заданной системы посылок также разрешима. Если определено понятие тавтологии и определено семантическое понятие логического следования (как это сделано выше), то говорят, что дано семантическое представление логики высказываний, а сама логика высказываний зачастую отождествляется с множеством тавтологий или с самим отношением логического следования. Однако такое представление ставит серьезную проблему: как обозреть все тавтологии, которых бесконечное множество? Для решения этой проблемы нужно перейти к синтаксическому представлению логики высказываний. Формальный (символический) язык логики высказываний и понятие формулы остаются прежними. Но теперь из всего множества тавтологий выбирают некоторое их конечное (и, вообще говоря, определяемые неоднозначно) подмножество, элементы которого называются ахтамшм*. Напр.:1.рЗ (qDp).l(pD(qD r))D((pDq)D(pD г)), З.р 3 (pvq),4.q3(pvq),5.(p 3 г) 3 ((q 3 г) 3 ((pvq) 3 г)), 6.(рл <0 3 р,7.(рлЧ) 3 q,8.(p 3q)3((p3r)3(p3 (q/ur))), 9.(p3 -^q)3 (qD-()),10.pD H> 3 q),ll.pv-4>. Т. о., в отличие от табличного определение логических связок -ц л, V, з задается аксиоматически. Затем с помощью уже известных правил, но чисто формально осуществляется вывод — переход от высказывания или системы высказываний к высказыванию: из А и АзВ следует В (правило заключения); из А(р) следует А(В) (подстановка). Так, заданную логику высказываний обозначим посредством С2 и назовем классической. Каждая аксиоматическая система, которая использует правило подстановки, может быть переформулирована в виде системы аксиомных схем, где вместо пропозициональных переменных используются символы произвольных высказываний (т. н. метапеременные). В этом случае каждая аксиомная схема представляет бесконечное множество аксиом и тогда правило подстановки оказывается излишним. Логическое исчисление, заданное посредством некоторого множества аксиом и некоторого множества правил вывода, называется исчислением гильбертовского типа. Выводом в нем называется всякая последовательность А,,..., А^ формул такая, что для любого i формула А есть либо аксиома, либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул по одному из правил вывода. Формула А называется теоремой, если существует вывод, в котором последней формулой является А; такой вывод называется выводом формулы А. Запись |— А служит сокращением утверждения «А есть теорема». Если формула А выводима из некоторого множества Г исходных формул, то тогда запись принимает вид Г|— А (подробнее см. ВШидльтчмшш). Исходя из синтаксического представления логики высказываний, последняя зачастую отождествляется с множеством теорем или, что более принято, с отношением выводимости. Итак, при семантическом подходе формулы понимаются содержательно (как функции на множестве из двух элементов И, Л), а при синтаксическом подходе формула—это определенный набор символов и различаются только теоремы и нетеоремы. Однако, несмотря на такое различие, оба подхода к построению логики высказываний по существу совпадают и, как говорят, являются адекватными. Это значит, что совпадают понятия логического следования и понятия вывода. Рассмотрим следующую примечательную теорему, которая иногда называется теоремой адекватности: для всех А, |— А тогда и только тогда, когда |= А. Доказательство водну сторону, аименно: для всехА, если |—А, то |= А носит название теоремы о корректности. Это минимальное условие, которое мы требуем от логического исчисления и которое состоит в том, что представленная нами семантика корректна для выбранной аксиоматизации. Для доказательства теоремы нужно проверить, во-первых, что все аксиомы ( 1 )—( 11 ) являются тавтологиями, что легко устанавливается непосредственной проверкой с помощью истинностных таблиц, и, во-вторых, что правила вывода выбраны т. о., что они сохраняют тавтологичность. Поэтому все формулы последовательности, образующей доказательство какой-либо теоремы исчисления С2, в том числе и сама доказуемая теорема, являются тавтологиями. Из этой теоремы следует важнейшее свойство нашего исчисления высказываний С2: в С2 формулы А и -А одновременно недоказуемы, т. е. исчисление высказываний С2 непротиворечиво. Ели бы это было не так, то (с использованием аксиомы (10) и двойным применением modus ponens) в С2 была бы доказуема любая формула В. В силу этого противоречивая логика высказываний никакой ценности не представляет. В ней истина и ложь неразличимы и поэтому любая теорема одновременно истинна и ложна. Имеет место и обратное утверждение о том, каждая тавтология доказуема, т. е для всех А, если |= А, то |— А. Доказательство этой теоремы не столь тривиально и носит название теоремы о полноте исчисления высказываний относительно предложенной семантики. По существу здесь утверждается, что логических средств, т. е. аксиом и правил вывода, исчисления высказываний С2 вполне достаточно для доказательства всех тавтологий. Т. о., поставленная цель достигнута; используя минимальные средства, можно обозреть все множество тавтологий. Имеется много различных аксиоматизаций С2, в том числе состоящих из одной аксиомы и содержащих только одну связку (штрих Шеффера). Понятно, что чем меньше аксиом, тем сложнее доказательства. И вообще, в гильбертовских исчислениях доказательство теорем и сам поиск вывода весьма громоздок. Поэтому используются другие формулировки исчисления, более или менее приближенные к естественным рассуждениям, такие, как m шшмшт. сояемрш, исчисление натурального вывода и др. Но соотношение между семантикой и синтаксисом здесь не столь прозрачно. Первая аксиоматизация классической логики С2 была гтред- принята F. Фреге(\Ъ79). Однако в терминах современного символического языка аксиоматизация С2 появилась в «Principia Mathematical А. Штяеаш и К Ртахлт (1910-13). В обеих работах вопрос о полноте просто не возникал. Их целью было показать, что вся логика, а в действительности вся математика может быть развита внуфи их системы. Первая публикация доказательства полноты принадлежит Э. Посту (1921), который исходил из системы Уайтхеда и Рассела. Еще ранее это было сделано П. Бернайсом. В обоих случаях использовались двузначные истинностные таблицы (приведенные выше) для доказательства теоремы адекватности. В этом случае говорят еще, что эти таблицы являются характеристическими для С2. Теперь можно перейти к характеризации того, что называется классической логикой высказываний: (а) С2 основана на принципе двузначности (бивалентности). В последнее время большое развитие получили так называемые «бивалентные

417

ЛОГИКА ИНДУКТИВНАЯ семантики», не только для С2; (Ь) двузначные истинностные таблицы являются характеристическими. В этом смысле классическая логика высказываний является минимальной; (с) классическая логика высказываний является максимальной в том смысле, что она не имеет расширений: всякое добавление к ней в качестве аксиомы к.-л. формулы, не выводимой в ней, делает ее противоречивой; наконец, (d) классическая логика высказываний имеет наиболее простую семантику, которую можно только изобрести. Все это говорит о классической логике высказываний как уникальном явлении среди всего множества логик (см. Неклассические логики). Если в приведенной аксиоматизации С2 отбросить последнюю аксиому (исключенного третьего закон), то получим аксиоматизацию пропозициональной интуиционистской логики. Оказывается, она имеет континуум расширений (В. Л. Янков, 1968) и никакие конечнозначные истинностные таблицы не являются для нее характеристическими (К. Гёдель, 1932). Есть логики, которые имеют только одно расширение, т. е. саму С2. Что касается множества логик, то результат Янкова говорит о том, что существует континуум различных пропозициональных исчислений только определенного класса, т. е. таких логик, которые включают интуиционистскую логику (такие логики называются суперинтуиционистскими или промежуточными). Более того, в этом классе существует бесконечное множество логик, не имеющих конечной аксиоматизации, бесконечное множество неразрешимых логик, а также существуют конечнозначные логики с произвольным числом истинностных значений. Стоит отметить широкое применение алгебраических методов для решения различных задач логики высказываний. Это становится возможным прежде всего с истолкованием логики высказываний как некоторой структуры (в смысле алгебраической «теории структур»). Так, дистрибутивная структура с дополнениями (алгебры Буля) соответствует классической логике высказываний (см. Алгебра логики), а импликативная структура, где импликация является некоторым аналогом деления, если конъюнкция трактуется как умножение (псевдобулевы алгебры или алгебры Гейтинга), соответствует интуиционистской логике высказываний. Заметим, что в основе приложений булевой алгебры к логике лежит интерпретация элементов булевой алгебры как высказываний. В заключение обратим внимание на применение классической логики высказываний для анализа и синтеза релейно- контактных схем (К. Шеннон, 1938 и В. И. Шестаков, 1941). В автоматическом управлении и при эксплуатации вычисли- тельныхмашинприходитсяиметьделосрелейно-контактными схемами, содержащими сотни и тысячи реле, полупроводников и магнитных элементов. Описание и конструирование таких схем весьма непростое дело. Оказалось, что на помощь может прийти логика высказываний. Каждой схеме ставится в соответствие определенная ее формула в языке {-i, л, v} и каждая формула реализуется с помощью некоторой схемы. Изучая соответствующую формулу, можно выявить возможности заданной схемы и упростить ее (решение подобного рода задач называется анализом схемы). Появляется возможность построить схему, заранее описав с помощью формулы те функции, которые схема должна выполнять (синтезирование схемы). Остается только добавить, что именно классическая логика высказываний лежит в основе проектирования микросхем для современной цифровой электронной техники, в том числе и для компьютеров, хотя в последнее время ведутся подобные работы, основанные на других логиках — многозначных, нечетких, паранепротиворечивых. Лит.: Клини С. К. Введение в математику. М, 1957; ЧёрчА. Введение в математическую логику, т. I. M, I960; Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1973; Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М, 1984; Карпенко А. С. Классификация пропозициональных логик.— В кн.: Логические исследования, вып. 4. М, 1997; Яглом И. М. Булева структура и ее модели. М., 1980; Янков В. А. Построение последовательности сильно независимых суперинтуиционистских пропозициональных исчислений.— В кн.: Доклады Академии наук СССР, 1968, т. 181, № 1; Логика высказываний (Яновская С. А.).— В кн.: Философская энциклопедия, т. 3. М., 1964; Epstein R. L. The semantic foundations of logic, vol. I: Prepositional logic. Dordrecht, 1990; From Frege to Godel: A source book in mathematical logic 1879-1931, Harvard University Press, 1967, p. 264-283. А. С. Карпенко