КАНТОР(Cantor) Георг Фердинанд Людвиг Филипп (3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января 1918, Галле) — немецкий математик, создатель множеств теории. Учился в Высшей технической школе в Цюрихе, затем в Геттингенском и Берлинском университетах. Был учеником К. Вейерштрасса, привившего ему интерес к основаниям математики. С1879 по 1913 — профессор университета в Галле. Его теория знаменовала собой эпоху в легализации в математике актуальной бесконечности, что ранее вызывало возражения многих мыслителей, в т. ч. Аристотеля. Основным достижением Кантора было создание им первой в истории науки осознанно выдвинутой программы возрождения единства математики, создание условий, при которых самые разнообразные по своему характеру разделы математики можно было бы строить по единому плану, на достаточно прочном «фундаменте». Таким фундаментом и должна была служить теория множеств (сам Кантор пользовался термином «учение о множествах», Mengenlehre). «Надстраивать» математику над этой теорией следовало так, чтобы все без исключения математические понятия определялись в ее терминах. В результате всякий математический объект в конечном счете оказывался множеством, удовлетворяющим некоторому условию. Что же касается аппарата логической дедукции, то в качестве него неизбежным по тому времени образом бралась традиционная аристотелевская логика с ее исключенного третьего законом, влекущим за собой рассуждения методом «от противного», а значит, и неконструктивное понимание экзистенциальных высказываний. Поначалу этой особенности программы Кантора не было придано должного внимания. В современных терминах можно сказать, что Кантором была предложена теоретико-множественная модель самой математики. Его подход обеспечивал единообразие в структуре математических теорий, и сложившаяся ситуация воспринималась многими современными ему специалистами как «рай, созданный Кантором для математиков» (Д. Гильберт, Доклад «О бесконечном»). Уже при жизни Кантора в разработку и реализацию его программы включился ряд крупнейших математиков того времени. В дальнейшем она сыграла в развитии математики, — несмотря на все впоследствии обнаружившиеся связанные с ней драматические трудности, — выдающуюся роль, которую продолжает играть (пусть, может быть, в несколько меньшем масштабе) и в наши дни, представляя со-
212
«КАПИТАЛ» бой важное методическое и эвристическое средство, удобное в педагогическом отношении, а также (как ориентир) и для построения теоретико-множественных моделей в других отраслях знания, лежащих за пределами математики (в кибернетике, лингвистике, биологии и т. п.). И тем не менее, трудности, о которых было упомянуто выше, носили принципиальный характер. Исторически первой из них было обнаружение т. н. теоретико-множественных парадоксов, или антиномий, наиболее известным из которых стал «парадокс Рассела», обнаруженный в 1902 Б. Расселом и независимо от него Э. Цермело (см. Парадокс логический, Парадокс семантический). Гильберт вынужден был признать, что «опубликование противоречия, найденного Цермело и Расселом, оказало на математический мир прямо-таки катастрофическое воздействие. [...] Перед лицом этих парадоксов надо согласиться, что положение, в котором мы пребываем сейчас, на длительное время невыносимо». В результате обсуждения парадоксов было осознано, что программа Кантора в чистом ее виде реализована быть не может. В начале 20 в. с критикой программы Кантора выступил Л. Э. Я. Брауэр, предложивший альтернативную программу ин- туищюнизма. Кроме того, рядом математиков (Цермело и особенно Гильбертом) были предприняты меры, направленные на устранение из теории множеств обнаруженных в ней парадоксов, во-первых, определенной регламентацией теории множеств и, во-вторых, последующей ее аксиоматизацией и доказательством непротиворечивости возникающей системы аксиом (в этом последнем, собственно, и состояла идея знаменитой доказательств теории Гильберта). К сожалению, все эти усилия до сих пор не дали положительных результатов: вопрос о непротиворечивости аксиоматической теории множеств остается открытым. Установление непротиворечивости этой теории повлекло бы за собой (наподобие тому, как это случилось с теоремой Геделя о неполноте арифметики) неполноту этой теории во многих важных ее пунктах (и по-видимому, более того — ее непополнимость). Однако, может быть, главная из трудностей теории множеств состоит в том, что в ней отсутствует сколько-нибудь точное определение основного представления этой теории — представления о множестве. Оно иллюстрируется здесь лишь на примерах. И т. к. всякое математическое высказывание, сформулированное в рамках канторовской программы, в конечном счете оказывается высказыванием о множествах, то смысл этого высказывания остается неясным. В этом свете термин «теория множеств», получивший среди сторонников Кантора широкое распространение, не вполне правомерен, равно как и отнесение этой теории к числу математических дисциплин. Более оправданным представляется первоначальный термин самого Кантора — «учение о множествах». Это учение, несмотря на все его недостатки (и может быть, даже благодаря им), оказало сильное воздействие на развитие математики и ее оснований, а затем и более широкого комплекса наук нашего времени. Соч.: Труды по теории множеств. М., 1985. Лет.: Медведев Ф. А. Развитие теории множеств в XIX в. М., 1965; Meschkowski Я. Probleme des Unendlichen: Werk und Leben Georg Cantors. Braunschweig, 1967. H. M. Нагорный «КАПИТАЛ» — главный труд К. Маркса, написанный им в период с 1857 по 1867. В окончательно сложившемся виде «Капитал» состоит из 4 т. Труд делится на теоретическую (т. 1—3) и историко-критическую части (т. 4). Созданию своей экономической теории Маркс отдал сорок лет жизни. Работа над «Капиталом» прошла три стадии. В 1857—58 создание первоначального варианта — рукопись «Критика политической экономии», на основе которой был издан в 1859 первый выпуск произведения «К критике политической экономии». В1861—63 написан второй вариант «Капитала» — рукопись «К критике политической экономии», представляющую собой первый систематически разработанный набросок всех 4 т. «Капитала». В 1863—65 разработан третий вариант, и, наконец, в сентябре 1867 вышел в свет 1-й т. «Капитала», остальные тома были изданы уже после смерти Маркса Ф.Энгельсом. В 1-м т. Маркс последовательно проследил процесс капиталистического производства, начатая с анализа товара как первоначального элемента капитализма и выявления его двойственного характера, выраженного в присущих ему стоимости и потребительной стоимости. Этадвойственностьопределяет, по Марксу, и двойственный характер труда, создающего товар, — конкретный и абстрактный труд. На основе анализа развития форм стоимости, возникновения, сущности и функции денег как особого товара, превращения денег в капитал, он создал свою знаменитую формулу: товар—деньги—капитал. Кроме вопроса о сущности капитала, которую, по его мнению, составляют производственные отношения, он исследовал специфическую природу особого товара «рабочая сила», процесс производства абсолютной и относительной прибавочной стоимости, три стадии развития капиталистического производства (простая кооперация, разделение труда и мануфактура, машины и крупная промышленность), процесс накопления капитала (всеобщий закон капиталистического накопления, первоначальное накопление, исторические тенденции капиталистического накопления). Том завершается попыткой обосновать историческую неизбежность падения капитализма и экспроприации экспроприаторов. Во 2-м т. основной предмет рассмотрения — процесс обращения капитала. При анализе процесса воспроизводства всего общественного капитала Маркс различал два главных подразделения общественного производства (производство средств производства и производство предметов потребления). Особое внимание уделено взаимодействию этих видов производства. Кроме того, в этом томе разработаны схемы воспроизводства. 3-й т. Маркс посвятил процессу капиталистического производства в целом как единству производства и обращения капитала, законам капиталистического способа производства в буржуазном обществе (государстве, науке, культуре), механизму превращения прибавочной стоимости в прибыль и прибыли в среднюю прибыль, тенденции нормы прибыли к понижению, денежному капиталу, земельной ренте. В 4-м т. (Теория прибавочной стоимости) содержится критический анализ буржуазной политической экономии, тем самым Маркс перешел от изучения буржуазной экономики к рассмотрению ее отражения в теории буржуазной политической экономии. Открытие двойственного характера труда и исследование рабочей силы как товара, различение постоянного и переменного капитала и т. д. позволили Марксу создать концепцию прибавочной стоимости, что сам Маркс оценивал как важнейшее достижение своего экономического труда, которое позволило ему выяснить внутренний механизм капиталистического производства и некоторые тенденции его развития.
