Эйлер затронул эту проблему в «Письмах к немецкой принцессе» (1768-1772; адресатом писем была принцесса Ангальт-Дессау, племянница Фридриха Великого):

В книге «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» (1945) Жак Адамар занялся изучением вопроса о том, как мыслит математик, и обнаружил, что в процессе творчества почти все математики избегают пользоваться языком. Они мыслят смутными образами, визуальными или тактильными. Именно о таком характере мышления говорится в письме Эйнштейна к Адамару, приведенном в названной книге:

Разумеется, визуализация играет главную роль в творческом акте. Образ бесконечных прямых, делящих евклидову плоскость на две части, берет начало из визуализации. Вопрос сводится к следующему: «верит» ли разум фактам (независимо от того, каким образом они получены) настолько, что, как утверждают интуиционисты, необходимость в точной словесной формулировке и логическом доказательстве отпадает?

В 1930 г. Аренд Гейтинг (р. 1898), наиболее выдающийся представитель интуиционизма после Брауэра, опубликовал работу с изложением формальных правил интуиционистской логики высказываний {128}; это явилось своего рода символическим выражением намерения наладить отношения с формальными логиками. Логика высказываний охватывала лишь часть классической формальной логики. Например, в логике Гейтинга из истинности высказывания pследует: неверно, что pложно. Но из утверждения «неверно, что pложно» еще не следует, что pистинно, так как высказывание pможет оказаться неконструктивным. Закон исключенного третьего (утверждение « pили не  pвсегда истинно») в логике Гейтинга не используется. Но если из высказывания  pследует высказывание q,то из отрицания qследует, что pложно. Сами интуиционисты не придали особого значения предпринятой Гейтингом попытке формализации логики. Она не позволяла полностью представить идеи. Кроме того, формализация Гейтинга не была единственной: среди интуиционистов не существовало единого мнения по поводу того, какие логические принципы считать приемлемыми.

Несмотря на ограничения, наложенные интуиционистами на математику, и на критику интуиционистской философии представителями других направлений, в целом интуиционизм пошел математике на пользу. Он выдвинул на первый план вопрос «Что означает в математике существование?», впервые серьезно обсуждавшийся в связи с аксиомой выбора. Перефразируя Вейля, можно сказать; много ли проку от того, что мы знаем о существовании числа, обладающего теми или иными свойствами, если у нас нет возможности реализовать или вычислить его? Неограниченное, наивное использование закона исключенного третьего явно нуждается в пересмотре. Особенно важно, по-видимому, то, что интуиционизм отстаивал непременную вычислимость чисел и функций, существование которых доказано лишь тем, что предположение об их несуществовании приводит к противоречию. Узнать эти числа непосредственно — это то же самое, что жить рядом с другом, но это означает совсем иное, чем просто знать, что где-то в мире у тебя есть друг.

Противоборство логицистов и интуиционистов было лишь первой схваткой в разгоравшейся битве за обоснование математики. В борьбу вступали все новые участники, о которых речь еще впереди.

Логицизм и интуиционизм — два направления, возникшие в первые годы XX в. и придерживавшиеся диаметрально противоположных взглядов на основания математики, — были лишь первыми признаками надвигающейся бури. Третье направление — формализм— сформировал и возглавил Давид Гильберт. Родоначальником четвертого (теоретико-множественного)направления в основаниях математики стал Эрнст Цермело.

В своем докладе [51] на II Международном математическом конгрессе, проходившем в 1900 г. в Париже (гл. VIII), Гильберт подчеркнул важность доказательства непротиворечивости математики. Он указал также, что желательно получить прямое доказательство полной упорядоченности вещественных чисел. Но из работ Цермело мы знаем, что полное упорядочение эквивалентно аксиоме выбора. Гильберт обратил также внимание математиков на необходимость доказательства гипотезы континуума,согласно которой не существует (количественного) трансфинитного числа, большего N ₀и меньшего c.Еще до того, как обрели известность парадоксы теории множеств, доставившие немало хлопот математикам, и возникла дискуссия по поводу аксиомы выбора, Гильберт предвидел насущную необходимость решения всех этих проблем.

Суть своего подхода к основаниям математики, в том числе и к доказательству ее непротиворечивости, Гильберт изложил в 1904 г. в докладе на III Международном конгрессе математиков в Гейдельберге. Тогда он еще не имел серьезных работ, реализующих намеченную им программу. В последующие 15 лет логицисты и интуиционисты развили бурную деятельность в направлении, указанном этим докладом; однако Гильберт, мягко говоря, не был удовлетворен предложенными ими решениями проблем, потрясающих сами основания математики.

С логицизмом Гильберт разделался довольно спокойно. Его главное возражение против логицизма в докладе на конгрессе и в работе, опубликованной в том же 1904 г., сводилось к тому, что в ходе длительного и сложного развития логики целые числа оказались, хотя и неявно, вовлеченными в присущую ей систему понятий. Следовательно, занимаясь построением понятия числа, логика в действительности ходит по замкнутому кругу. Критиковал Гильберт и задание множеств по их свойствам: при таком определении множеств возникала необходимость различать высказывания и пропозициональные функции по типам, а теория типов требовала принятия сомнительной аксиомы сводимости. Гильберт разделял мнение Рассела и Уайтхеда о необходимости включения в математику бесконечных множеств. Но для этого потребовалась бы аксиома бесконечности, а Гильберт вместе с другими не считал ее аксиомой логики.

С другой стороны, философия интуиционизма также не устраивала Гильберта, поскольку интуиционисты отвергали не только бесконечные множества, но и обширные разделы анализа, опирающиеся на чистые теоремы существования, и он яростно нападал на интуиционизм. В 1922 г. он обвинил интуиционистов в том, что они «стремятся разрушить и изуродовать математику». В статье 1927 г. он выразил свой протест против интуиционизма следующим образом: «Отнять у математиков закон исключенного третьего — это то же самое, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользование кулаками. Запрещение теорем существования и закона исключенного третьего почти равносильно полному отказу от математической науки» ([50], с. 383).