Справедливости ради заметим, что Рассел и Уайтхед испытывали сомнения относительно того, включать или не включать аксиому бесконечности в число аксиом логики. Их беспокоило, что содержание аксиомы выглядит «фактообразно». Сомнения возникали не только по поводу принадлежности аксиомы к логике, но и относительно ее истинности. Согласно одной из интерпретаций термина «индивидуум», предложенной Расселом и Уайтхедом, под «индивидуумами» понимались мельчайшие частицы, или элементы, составляющие Вселенную. Создавалось впечатление, что, хотя аксиома бесконечности сформулирована на языке логики, она по существу сводится к вопросу о том, конечно или бесконечно число мельчайших частиц во Вселенной, т.е. к вопросу, ответ на который может дать только физика, но никак не математика и не логика. Но если мы хотим рассматривать бесконечные множества или показать, что математические теоремы, при выводе которых была использована аксиома бесконечности, принадлежат к числу теорем логики, то нам, по-видимому, не остается ничего другого, как считать аксиому бесконечности аксиомой логики. Короче говоря, если мы хотим «свести» математику к логике, то логика, очевидно, должна включать в себя аксиому бесконечности.
Рассел и Уайтхед использовали также аксиому выбора (гл. IX), которую они называли мультипликативной аксиомой: если задан класс непересекающихся (взаимно исключающих) классов, ни один из которых не является нулевым (или пустым), то существует класс, содержащий ровно по одному элементу из каждого класса и не содержащий других элементов. Как мы знаем, аксиома выбора породила больше дискуссий и споров, чем любая другая аксиома, за исключением, может быть, аксиомы Евклида о параллельных. Аксиома выбора вызывала сомнения и у Рассела и Уайтхеда, которые так и не смогли убедить самих себя признать ее логической истиной наравне с другими аксиомами логики. Тем не менее если мы хотим свести к логике те разделы классической математики, для построения которых необходима аксиома выбора, то эту аксиому, вероятно, также необходимо счесть составной частью логики.
Использование этих трех аксиом (сводимости, бесконечности и выбора) поставило под сомнение основной тезис логицизма о возможности вывести всю математику из логики. Где провести границу между логикой и математикой? Сторонники логистического тезиса утверждали, что логика, используемая Расселом и Уайтхедом, была «чистой», или «очищенной». Другие, памятуя о трех спорных аксиомах, ставили под сомнение «чистоту» этой логики. Тем самым они отрицали, что вся математика или даже какая-то важная часть ее может быть сведена к логике. Некоторые математики и логики были склонны расширить термин «логика» так, чтобы он охватывал аксиомы сводимости, бесконечности и выбора.
Рассел, отстаивавший логистический тезис, по-прежнему защищал все, что было сделано им и Уайтхедом в первом издании «Оснований математики». В работе «Введение в математическую философию» ([79]*, 1919) он приводил следующие доводы:
При доказательстве этого тождества [математики и логики] все упирается в детали; начав с посылок, относящихся, по всеобщему признанию, к логике, и придя с помощью дедукции к результатам, заведомо принадлежащим математике, мы обнаружим, что нигде не возможно провести четкую границу, слева от которой находилась бы логика, а справа — математика. Если кто-нибудь вздумает отвергать тождество логики и математики, то мы можем оспорить его мнение, попросив указать то место в цепи определений и дедуктивных выводов «Оснований математики», где, по его мнению, заканчивается логика и начинается математика, и тогда сразу станет ясно, что любой ответ совершенно произволен.
Разногласия по поводу теории Кантора и аксиом выбора и бесконечности достигли в начале XX в. столь большой остроты, что Рассел и Уайтхед не стали включать две последние аксиомы в число аксиом своей системы, хотя и использовали их (во втором издании, 1926) при доказательстве некоторых теорем, каждый раз особо оговаривая, что вывод теорем опирается на «посторонние» аксиомы. Но аксиомы выбора и бесконечности оказались необходимыми для вывода значительной части классической математики. Во втором издании своих «Принципов математики» ([81]*, 1937) Расселу пришлось пойти на еще большие уступки. По его собственному признанию, «весь вопрос о том, что считать принципами логики, становится в значительной степени произвольным». Аксиомы бесконечности и выбора «можно доказывать или опровергать, лишь исходя из эмпирических данных». Тем не менее Рассел продолжал настаивать на единстве логики и математики.
Но и подобные признания не смогли заставить критику умолкнуть. В своей книге «Философия математики и естественных наук» ([93]*, 1949) Герман Вейль писал о том, что Рассел и Уайтхед возвели математику на основе
…не просто логики, а своего рода рая для логиков, мира, снабженною всем необходимым «инвентарем» весьма сложной структуры… Кто из здравомыслящих людей осмелится утверждать, что верит в этот трансцендентальный мир?.. Эта сложная структура требует от нас не меньшей веры, чем учения отцов церкви или средневековых философов-схоластов.
Критика логицизма имела и другой характер. Хотя в трех томах «Оснований математики» Рассела и Уайтхеда не нашлось места для последовательного построения геометрии, ни у кого не вызывало сомнений, что такое построение вполне осуществимо, если воспользоваться, как об этом уже говорилось, аналитической геометрией. Тем не менее иные критики утверждали, что авторы, сведя к логике систему аксиом целых чисел, тем самым свели к логике арифметику, алгебру и математический анализ, но не свели к логике «неарифметические» разделы математики, например геометрию, топологию и абстрактную алгебру. Такого мнения придерживался, в частности, логик Карл Гемпель, считавший, что хотя в случае арифметики неопределяемым, или первичным, понятиям оказалось возможным придать обычный смысл с помощью «чисто логических понятий», «аналогичная процедура неприменима к тем математическим дисциплинам, которые обязаны своим появлением на свет не арифметике». Коллега Гемпеля Уиллард Ван Орман Куайн, по мнению которого «вся математика сводится к логике», считал, что для геометрии существует «готовый метод, позволяющий свести ее к логике» и что топология и абстрактная алгебра «укладываются в общую структуру логики». Сам Рассел сомневался, что всю геометрию удастся вывести только из логики.
Философы также подвергли логистическое направление серьезной критике, суть которой сводилась к следующему. Если основной тезис логицизма верен, то вся математика является чисто формальной, логико-дедуктивной наукой, теоремы которой следуют из законов мышления. Казалось необъяснимым, каким образом с помощью дедуктивного вывода одни лишь законы мышления могут привести к описанию неисчерпаемого разнообразия явлений природы, к различным применениям чисел, геометрии пространства, акустике, электромагнетизму и механике. Именно так и следует понимать критическое замечание Вейля: «Из ничего и следует ничто».
Пуанкаре, со взглядами которого мы познакомимся подробнее в дальнейшем, также критически относился к тому, что считал бесплодными манипуляциями логическими символами. В работе «Наука и метод» (1906), опубликованной в то время, когда Рассел и Гильберт уже успели неоднократно изложить свои программы, Пуанкаре утверждал по поводу логицизма:
Эта наука [математика] не имеет единственной целью вечное созерцание своего собственного пупа; она приближается к природе, и раньше или позже она придет с ней в соприкосновение; в этот момент необходимо будет отбросить чисто словесные определения, которыми нельзя будет довольствоваться.
([1], с. 393.)
В той же книге (с. 397) Пуанкаре говорил:
Как бы там ни было, логистика должна быть переделана, и неизвестно, что в ней может быть спасено. Бесполезно прибавлять, что на карту поставлены только канторизм и логистика. Истинные математические науки, т.е. те, которые чему-нибудь служат, могут продолжать свое развитие только согласно свойственным им принципам, не заботясь о тех бурях, которые бушуют вне их; они будут шаг за шагом делать свои завоевания, которые являются окончательными и от которых им никогда не будет нужды отказываться.
