— Быть — это классифицировать и действовать, и все это означает выбрасывать вон информацию. Так что просто сам акт знания требует невежества.

Слушатели выглядели одновременно озадаченными и раздраженными.

Тогда несколько слов сказал Ральф Гомори (Ralph Gomory). Бывший вице-президент по вопросом исследований в «IBM», Гомори теперь возглавляет Фонд Слоана, филантропическую организацию, которая спонсирует относящиеся к науке проекты, включая семинар в Сайта-Фе. Когда Гомори слушал выступления других и даже выступал сам, его лицо выражало полное неверие. Он то склонял голову вперед, словно вглядывался в нечто в невидимый бинокль, то сводил на переносице густые черные брови и хмурил лоб.

Гомори объяснил, что он решил поддержать семинар, потому как давно считал, что образовательная система делает слишком большой упор на том, что известно, и слишком мало внимания уделяет тому, что неизвестно или даже не может быть познано. Большинство людей даже не осознают, как мало известно, сказал Гомори, потому что образовательная система представляет такой бесшовный, непротиворечивый взгляд на реальность. Все, что мы знаем о древних Персидских войнах, например, исходит из единственного источника — Геродота. Откуда нам знать, был ли Геродот точным репортером? Может, у него была неполная или неточная информация! Может, у него было предвзятое отношение или он что-то придумал! И мы этого никогда не узнаем!

В дальнейшем Гомори заметил, что марсианин, наблюдая за тем, как люди играют в шахматы, может быть способен точно вывести правила игры. Но может ли марсианин когда-либо быть уверенным, что это — истинные правила или единственные правила? Все с минуту размышляли над загадкой Гомори. Затем Кауффман стал рассуждать о том, как на нее мог бы ответить Виттгенштейн. Виттгенштейн стал бы «крайне страдать», сказал Кауффман, из-за того, что игроки в шахматы могут сделать ход — преднамеренно или нет, — который нарушает правила. В конце концов, как может марсианин сказать, был ли ход ошибочным или это результат другого правила?

— Вы меня понимаете? — спросил Кауффман у Гомори.

— Для начала я не знаю, кто такой Виттгенштейн, — раздраженно ответил Гомори.

Кауффман приподнял брови.

— Он был оченьизвестным философом.

Они с Гомори неотрывно смотрели друг на друга, пока кто-то не сказал:

— Давайте оставим Виттгенштейна в покое.

Патрик Саппс (Patrick Suppes), философ из Стэнфорда, все время прерывал дискуссию, чтобы указать, что Кант, обсуждая антиномии, предвидел практически все проблемы, с которыми борются участники семинара. В конце концов, когда Саппс привел еще одну антиномию, кто-кто крикнул:

— Не надо больше Канта!

Саппс запротестовал, что есть еще одна антиномия, которую он хочет упомянуть, действительно важная, но его коллеги не дали ему ничего сказать. (Несомненно, они не хотели, чтобы им напоминали, что в основном они просто заново утверждают, при помощи новомодного жаргона и метафор, доказательства, представленные давно, и не только Кантом, но даже древними греками.)

Чайтин, строча как пулемет, вернул разговор обратно к Геделю. Теоремы неполноты, утверждал Чайтин, это далеко не парадоксальный курьез с малым отношением к прогрессу математики или науки, как нравится считать некоторым математикам, а только одна часть множества глубоких проблем, поставленных математикой.

— Некоторые люди отвергают результаты Геделя как эксцентричные, патологические, происходящие из соотносящегося с самим собой парадокса, — сказал Чайтин. — Сам Гедель иногда беспокоился, что это был просто парадокс, созданный нашим использованием слов.

А теперь неполнота кажется такой естественной, что вы можете спросить, как мы, математики, вообще можем что-то сделать!

Работа самого Чайтина по алгоритмической теории информации предполагала, что, по мере того как математики будут обращаться к проблемам все увеличивающейся сложности, им придется продолжать пополнять свою базу аксиом; другими словами, чтобы знать больше, нужно больше предполагать. В результате, утверждал Чайтин, математике предстоит стать все более экспериментальной наукой с меньшими претензиями на абсолютную истину. Чайтин также установил, что так же, как и природа, математика состоит из фундаментальной неуверенности и беспорядочности. Он недавно нашел алгебраическое уравнение, которое может иметь бесконечное или конечное количество решений, в зависимости от значения переменных в уравнении.

— Обычно предполагается, что если люди думают, что нечто истинно, то это истинно в связи с чем-то.

В математике причина называется доказательством, а работа математика — это нахождение доказательств, причин, выводов из аксиом и принятых принципов. Они истинны случайно. И именно поэтому мы никогда не найдем истину: потому что нет истины, и нет причины, что эти доказательства истинны.

Чайтин также доказал, что никогда нельзя определить, является ли любая компьютерная программа самым возможно кратким методом решения проблемы; всегда возможно, что существуют более сжатые программы. (Это открытие подразумевает, как подтвердили и другие исследователи, что физики никогда не могут быть уверены в том, что нашли окончательную теорию, которая представляет самое компактное описание природы.) Чайтин явно наслаждался положением носителя таких ужасных известий. Он казался разрушителем, который крушит храм науки.

Касти ответил, что математики могут избежать эффектов Геделя, применяя простые формальные системы, такие как арифметика, состоящая только из сложений и вычитаний (но не умножений и делений). Недедуктивные системы рассуждений, добавил Касти, могут также обойти проблему; теоремы Геделя способны ввести в заблуждение, когда дело касается естественных наук.

Франциско Антонио «Чико» Дориа (Francisco Antonio «Chico» Doria), бразильский математик, тоже считает анализ Чайтина слишком пессимистичным. Математические барьеры, идентифицированные Геделем, утверждает Дориа, далеки от того, чтобы привести математику к концу, они могут ее обогатить. Например, Дориа предположил, что, когда математики встречают явно нерешаемое утверждение, они могут создать две новые ветви математики: одну, которая предполагает, что предложение истинно, и другую, которая предполагает, что оно ложно.

— Вместо границы знания, — сделал вывод Дориа, — мы можем получить богатство знаний.

Слушая Дориа, Чайтин закатил глаза. Саппс тоже, казалось, сомневался. Неожиданное предположение, что нерешаемые математические утверждения истинны или ложны, заявил Саппс, подобно «преимуществу кражи над честным тяжелым трудом». Он приписал свое мудрое изречение кому-то знаменитому.

Разговор продолжал менять направление — словно в странном аттракторе — к одной из любимых тем философствующих математиков и физиков: проблеме континуума. Реальность непрерывна или дискретна? Аналоговая или цифровая? Как лучше описывать мир — так называемыми вещественными числами, которые могут быть поделены на актуально бесконечно малые величины, или целыми числами? Физики от Ньютона до Эйнштейна полагались на вещественные числа. Но квантовая механика предполагает, что материя и энергия, а возможно, даже время и пространство (в очень малых диапазонах), появляются в состоящих из частей неделимых кусках. Компьютеры также представляют всё как целые числа: единицы и нули.

Чайтин охарактеризовал вещественные числа как чушь, точность которых, учитывая размытость мира, — обман.

— Физики знают, что каждое уравнение — ложь, — объявил он.

Кто-то возразил цитатой из Пикассо: «Искусство — это ложь, которая помогает нам видеть истину».

Конечно, вещественные числа — это абстракции, включился Трауб, но это очень мощные и эффективные абстракции. Математическая модель схватывает суть явления. Никто не притворяется, что она охватывает все его целиком.

Саппс проследовал к доске и написал несколько уравнений, которые, как ему казалось, могут исключить проблему континуума раз и навсегда. На слушателей это не произвело впечатления. (Это, подумал я, главная проблема философии: никто на самом деле не хочет,чтобы философские проблемы решались, потому что тогда у них не будет, о чем говорить.)