Въ настоящее время принято во всѣхъ учебникахъ, чтобы дѣйствія надъ дробями шли въ такомъ порядкѣ: сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе. Прежде было иначе: старинные авторы предпочитали начинать съ умножевія и дѣленія, и потомъ уже они переходили къ сложенію и вычитанію; при этомъ они руководствовались тѣмъ, что для умноженія и дѣленія не надо приводить къ общему знаменателю и, слѣд., эти два дѣйствія гораздо легче тѣхъ двухъ.

Мы будемъ держаться общепринятаго порядка и поэтому скажемъ сперва нѣсколько словъ о сложеніи. Изъ его особенностей отмѣтимъ только ту, которая касается сложенія нѣсколькихъ дробей. Для этого, обыкновенно, складывали сперва только двѣ дроби, сумму ихъ сокращали, если только она сокращается; потомъ къ ней прикладывали третью дробь и сумму опять сокращали, если только можно, и т. д. Если сложеніе до послѣдней дроби. Въ XVI ст. по Р. X. умѣли, впрочемъ, складывать нѣсколько дробей сразу, но тогда ужъ принимали за общаго знаменателя произведеніе всѣхъ знаменателей. Для облегченія сложенія придумывались особенныя таблицы, въ которыхъ были помѣщены суммы наиболѣе употребительныхъ долей. Напр.: итальянецъ Леонардо Фибонначи (въ XIII ст. по Р. Хр.) даетъ въ своемъ учебникѣ таблицу сложенія дробей, у которыхъ знаменателемъ служатъ числа: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10.

Вычитаніе. Древніе египтяне замѣняли вычитаніе дробей сложеніемъ. Вмѣсто того, чтобы привести дроби къ одному знаменателю и потомъ вычесть числителей, какъ это вездѣ дѣлается, они задавались вопросомъ: какое число надо прибавить къ меньшему данному числу, чтобы получить большее данное? Напр., сколько недостаетъ до единицы у

(египтяне, обыкновенно, пользовались только основными дробями, т.-е. съ числителями, равными единицѣ); они рѣшали этотъ вопросъ слѣдующимъ образомъ: общій знаменатель 45, складываемъ 11¼, 5½, ⅛, 4½, 1½, 1, будетъ всего 23 ½¼⅛; до ⅔ не хватаетъ

; всего до 1 не хватаетъ ⅓ ¹/₉ ¹/₄₀ —это есть отвѣтъ. Читатель, навѣрное, понялъ, что здѣсь между дробями пропущены знаки сложенія: египтяне ихъ и не ставили и полагали, что достаточно написать дроби рядомъ, чтобы принять ихъ за слагаемыя.

Умноженіе. Умножить какое-нибудь количество на правильную дробь значитъ найти такую долю этого количества, какая выражается множителемъ. Это такъ ясно и понятно. Тѣмъ не менѣе нахожденіе частей числа почему-то отдѣлялось и отдѣляется отъ умноженія и принимается за какое-то особенное вычисленіе, которое должно яко бы предшествовать 4 ариѳм. дѣйствіямъ. Почему все это такъ, и гдѣ кроется корень недоразумѣнія, — объяснить трудно, такъ какъ исторія ариѳметики не даетъ надежнаго ключа къ разгадкѣ. Но любопытно сопоставить это дѣло съ другимъ недоразумѣніемъ, которое нѣсколько вѣковъ тому назадъ особенно авторитетно выставлялось на первый планъ, считаясь чѣмъ то непреложнымъ, а въ настоящее время оно оставлено и забыто. Касается оно слѣдующаго. Въ вычисленіяхъ съ дробными числами, кромѣ чиселъ цѣлыхъ и дробей, встрѣчались еще такъ наз. доли отъ долей; это были длинныя формулы, состоящія изъ огромнаго ряда дробей, которыя не подлежали упрощенію и въ сыромъ видѣ входили въ дѣйствіе. Лучше всего пояснить это на примѣрѣ: сложить ⅔ отъ ⁴/₅ отъ ⁵/₆ съ ⅞ отъ ⁹/₁₀, или еще: изъ 10 вычесть 3⅔ отъ 2½ отъ ⁴/₅. Ясно, что здѣсь невычисленныя формулы, и что прежде чѣмъ складывать или вычитать, надо привести слагаемыя или же уменьшаемое съ вычитаемымъ въ обработанный видъ. Получится ⅔ отъ ⁴/₅ ⁵/₆= ⁴⁰/₉₀ = ⁴/₉;

⁵/₆ отъ ⅞ отъ ⁹/₁₀ =

, теперь эти дроби возможно сложить, и въ суммѣ будетъ

Такъ же и во второмъ примѣрѣ приведемъ сперва вычитаемое къ должному виду и тогда уже произведемъ дѣйствіе; 3½×2½×

= 7⅓, 10 - 7⅓ = 2⅔. Совершенно нельзя понять, къ чему требовалось математикамъ затруднять сложеніе и вычитаніе дробей особенными правилами, какъ обращаться съ долями долей, а между тѣмъ эти правила разсматривались на нѣсколькихъ страницахъ, занимавшихъ много параграфовъ, требовали большого количества упражненій и приносили только вредъ, такъ какъ на нихъ безъ пользы уходило много времени и труда. Теперь уже наши дѣти не изучаютъ отдѣльныхъ правилъ, какъ складывать или вычитать доли долей, и въ этомъ отношеніи имъ легко. Будемъ же надѣяться, что подобно этому отдѣлу исчезнетъ въ учебникахъ и другой лишній отдѣлъ — нахожденіе частей цѣлаго, и присоединится туда, гдѣ ему настоящее мѣсто, т. е. къ умноженю дробей.

Замѣтимъ, что вычисленія съ долями долей очень древняго происхожденія, они ведутъ свое начало отъ греческаго математика Герона (во II ст. до Р. X.). Были выработаны спеціальные пріемы, какъ обозначать часть дробнаго числа. Напр., у арабовъ примѣнялось такое обозначеше:

,которое должно показывать ⁴/₅ отъ ³/₇ отъ ⅝, т.-е. окончательно ³/₁₄. У Леонардо Фибонначи (въ XIII ст. по Р. X.) формула

равна, согласна нашему порядку,

всего 22²⁴/₃₅, а формула

равна

Вотъ какая путаница вносилась этимъ отдѣломъ совершенно безъ всякой нужды. Также и въ русскихъ матем. сборникахъ XVII—XVIII в. этотъ отдѣлъ давалъ не мало сбивчивости. Онъ назывался «выниманіе дробовое» или «вычитаніе доли изъ долей». Его нельзя было смѣшивать съ другимъ дѣйствіемъ, которому придано созвучное заглавіе, т.-е. съ «вычитаніемъ въ доляхъ», гдѣ разсматривается наше вычитаніе дробныхъ чиселъ. Составителю учебника приходилось не мало разъяснять, что-бы предостеречь ученика отъ смѣшиванiя вычитанія и нахожденія части, такъ что предъ вычитаніемъ помѣщено было отдѣльное разъясненіе «о разумѣніи, что есть доли изъ долей».

Обратимся теперь къ чистому умноженію дробей, какъ отдѣльному дѣйствію. Обособляться оно стало только въ средніе вѣка, и тогда ему придано было названіе «умноженіе», древняя же математика ограничивалась только нахожденіемъ простѣйшихъ частей числа, тѣмъ болѣе, что даже и въ цѣлыхъ числахъ она стремилась привести умноженіе къ сложенію. У Бернелинуса, ученика римскаго папы Сильвестра II (въ XI в.), умноженіе ¹/₃₆ на ⅓ совершается по римскимъ образцамъ слѣдующимъ образомъ: ¹/₃₆ обращается въ доли фунта; въ фунтѣ 12 унцій, слѣд., унція равна ¹/₁₂, а такъ какъ въ унціи 24 скрупула, то дробь ¹/₃₆ обратилась въ 8 скрупуловъ; ⅓ равна ⅓ фунта, т.-е. 4 унціямъ; множимъ теперь ⅓ фунта на ⅓ унціи, т -е. на 8 скрупуловъ, и получается ¹/₉ унціи, иначе сказать 2⅔ скрупула, а такъ какъ 2 скрупула составляютъ особою мѣру, которая называется «emisescla», то окончательный отвѣтъ представится въ видѣ 1⅓ «emisescla». Да, можно сказать, что способъ Бернелинуса очень и очень нелегокъ.

У Фибонначи (XIII ст. по Р. X.) подъ вліяніемъ арабскихъ и индусскихъ образцовъ нѣтъ вычисленія съ унціями, и дѣло идетъ просто съ отвлеченными долями. Фибонначи пользуется такимъ способомъ. Сперва онъ перемножаетъ числителей, а потомъ получившееся число дѣлитъ на перваго знаменателя и, затѣмъ, уже это частное дѣлитъ на второго знаменателя.