Дѣйствительно, остатокъ отъ 370:9 будетъ 1, отъ 581 остатокъ будетъ 5 и отъ суммы данныхъ чиселъ, т.-е. отъ 951, остатокъ будетъ тоже 5+1 = 6 (иногда, впрочемъ, изъ суммы остатковъ приходится выкидывать одну или нѣсколько девятокъ, напр., если бы слагаемыми были 375 и 581, то сумма остатковъ составила бы 11. а остатокъ суммы равнялся бы 2, т.-е. 11—9). Эти числа 1, 5, 6 носятъ названіе повѣрочныхъ чиселъ, слѣд. 1 будетъ повѣрочнымъ числомъ для 370-ти, 5 для 581 и 6 для 951. Огсюда ясно вытекаетъ правило: повѣрочное число суммы равно суммѣ повѣрочныхт чиселъ всѣхъ слагаемыхъ. Точно также при вычитаніи: повѣрочное число разности соотвѣтствуетъ разности повѣрочныхъ чиселъ уменынаемаго и вычитаемаго; или иначе: повѣр. число уменьшаемаго равно суммѣ повѣрочныхъ чиселъ вычитаемаго и разности. При умноженіи правило такое: повѣр. число произведенія соотвѣтствуетъ произведенію повѣр. чиселъ множителей; и, наконецъ, при дѣленіи новѣр. число дѣлимаго со-отвѣтствуетъ произведенію повѣрочныхъ чиселъ дѣлителя и частнаго.

За исключеніемъ сложенія, при каждомъ дѣйствіи имѣется 4 по-вѣрочныхъ числа, и они, обыкновенно, располагались такъ, что получалась фигура косого креста. Примѣръ: 525 раздѣлить на 15, получится въ частномъ 35. Тогда повѣрка представляется слѣдующимъ крестомъ:

 \ 3 /

6 \ / 8

  / \

  / 3 \

Нѣкоторые математики, приверженцы совершенной точности и полной безошибочности, находили, что повѣрка числомъ 9 далеко не безупречна и можетъ повести къ ошибкамъ. Зависѣть онѣ могутъ отъ такихъ причинъ. Во-первыхъ, различныя по величинѣ числа, но только отличающіяся другъ отъ друга на цѣлое число девятокъ, имѣютъ повѣрочныя числа одинаковыя; напр., числа 172 и 1081. Во-вторыхъ, этой повѣркой нельзя открыть пропуска нулей или же излишка нулей: числа 105, 1050, 15 даютъ одинаковыя повѣрочныя числа. Въ третьихъ, перестановка цифръ точно также не можетъ быть открыта этой повѣркой, такъ какъ, напр., числа 78932 и 87932 даютъ одинаковыя повѣрочныя числа. Итакъ, повѣрка числомъ 9 ненадежна. Поэтому, лучшіе авторы XVI—XVII в. рекомендуютъ еще повѣрку числомъ 7. Она основана на томъ же, на чемъ и предыдущая, и слѣд. при ней изъ данныхъ и иекомыхъ чиселъ выкидываютъ возможное число семерокъ, а съ остатками поступаютъ точно такимъ же образомъ, какъ и при повѣркѣ числомъ 9. Въ этомъ случаѣ ужъ можно обнаружить и перестановку цифръ, и пропускъ нулей.

Казалось бы, что вполнѣ достаточно повѣрки числомъ 9 и числомъ 7 для того, чтобы можно было успокоиться и убѣдиться, что отвѣтъ вѣренъ. Но нѣтъ, Рудольфъ и Апіанъ (въ XVI ст.) объясняютъ, что повѣрять можно такимъ же путемъ, какъ и выше, еще съ помощью чиеелъ 8, 4, 6.

Фишеръ (въ 1559 г.) провѣряетъ свои вычисленія числами 5, 6, 7, 8, 9, 11.

Но такое большое количество искусственныхъ повѣрокъ приводило многихъ авторовъ прямо къ отрицанію ихъ необходимости и пользы. Петръ Рамусъ, извѣстный французскій ученый и математикъ (ум. 1572 г.), говоритъ, что всѣ эти ухищренія излишни и ненужны, и что если кому требуется повѣрить дѣйствіе, то пусть онъ передѣлаетъ его снова и больше ничего; такъ будетъ лучше и въ томъ отношеніи, что, передѣлывая снова, мы можемъ не только открыть присутствіе ошибки, но и исправить ее.

Лука де-Бурго смотритъ на дѣло хладнокровнѣе. Онъ не отрицаетъ совершенно провѣрки, но только совѣтуетъ дѣлать ее, по возможности, проще. Именно онъ указываетъ для этого 2 способа. Во-первыхъ, можно то же дѣйствіе произвести еще разъ и только измѣнить его порядокъ, напр., при сложеніи нѣсколькихъ чиселъ, если мы сперва складывали сверху внизъ, то потомъ надо пересложить снизу вверхъ. Во-вторыхъ, всякое дѣйствіе повѣряется своимъ обратнымъ: вычитаніе сложеніемъ, дѣленіе умноженіемъ и т. п.

Всѣ предыдущія объясненія, которыя изложены до настоящей главы, касались счета и вычисленій, т.-е. тѣхъ умственныхъ отправленій человѣка, которыя составляютъ наиболѣе характерную и общую черту его природы.

Дѣйствительно, потребность считать привадлежитъ всѣмъ людямъ и составляетъ необходимую часть ихъ мышленія. Поэтому естественно, что и проявленіе этой всеобщей потребности и присущей всѣмъ способности тоже носитъ въ себѣ много общаго и неизмѣннаго у всѣхъ народовъ и во всѣ времена. Въ счетѣ и вычисленіи нѣтъ мѣста произволу и очень мало мѣста для свободнаго выбора: все совершается по общему закону, предустановленному психической организацею человѣка. Не то мы видимъ въ измѣреніи и оеобенно въ выборѣ мѣръ. Вотъ ужъ именно «что городъ, то норовъ, что деревня, то обычай!» Каждое маленькое государство, каждый хоть немножко самостоятельный народъ, каждый городъ, каждый уголокъ стремится измѣрять своими мѣрами, да и тѣ еще успѣваетъ перемѣнить нѣсколько разъ съ теченіемъ времени. Прослѣдимъ вкратцѣ эту измѣнчивость мѣръ и постараемся извлечь изъ нея тѣ немногія руководящія основанія, которымъ подчиняется выборъ мѣръ, а для этого возьмемъ отъ каждаго народа то, что болѣе всего примѣчательно.

Древній міръ признавалъ египтянъ творцами системы мѣръ. Еще въ доисторическія времена египтяне принимали 365 дней въ году; имъ же принадлежитъ введеніе високоснаго года въ 366 дней черезъ каждые 3 простыхъ, при чемъ установленіе это приписывается царю Канопу и относится къ 238 г. до Р. X. Оть египтянъ этотъ порядокъ былъ заимствованъ Юліемъ Цезаремъ и введенъ имъ во всемъ римскомъ государствѣ, онъ же держится и у насъ теперь подъ именемъ юліанскаго лѣтосчисленія. Счетъ по недѣлямъ и по мѣсяцамъ точно также былъ извѣстенъ египтянамъ.

Вавилоняне замѣчательны тѣмъ, что они стремились объединить всю систему мѣръ и привести ее къ одной основной единицѣ. Эта глубокая мысль занимала потомъ многихъ математиковъ, цринадлежавшихъ къ различнымъ національностямъ, и нашла себѣ выраженіе только очень недавно, именно съ введеніемъ метрической систеиы мѣръ. Съ этой цѣлью вавилоняне пользовались особымъ священнымъ сосудомъ опредѣленныхъ размѣровъ, который они хранили въ надежномъ мѣстѣ. Длина ребра этого сосуда принималась за единицу длины. Когда же этотъ сосудъ наполнялся водой, то вѣсъ воды, вытекавшей изъ него въ опредѣленное время, принимался за единицу вѣса и назывался талантомъ; талантъ раздѣлялся на 60 минъ. Отъ вавилонянъ онъ перешелъ къ другимъ сосѣднимъ народамъ, напр., грекамъ, евреямъ, но при этомъ не всегда и не вездѣ онъ сохранялъ свою первоначальную величину. Обыкновенный греческій талантъ вѣсилъ слишкомъ 1½ пуда и раздѣлялся на 6000 драхмъ.

Талантъ не особенно извѣстенъ, какъ мѣра вѣса, но зато онъ былъ очень распространенъ въ видѣ мѣры стоимости.

Это происходило потому, что въ древности монеты цѣнились по ихъ вѣсу, и когда совершалась купля-продажа, то, обыкновенно, условливались, сколько надо отвѣсить за такую-то вещь золота, серебра или даже мѣди. Такимъ образомъ талантъ золота, т.-е. приблизительно 1½ пуда золота, цѣнился при царѣ Давидѣ въ 125 тысячъ рублей, въ переводѣ на наши монеты. Талантъ серебра при немъ же обошелся бы въ 2400 руб. Аттическій талантъ серебра цѣнился почти вдвое дешевле и доходилъ лишь до 1290 р. на наши деньги. Это случилось, вѣрнѣе всего, потому, что съ теченіемъ времени талантъ сталъ терять свое первоначальное значеніе вѣса и постепенно обращался въ монету, т.-е. съ нимъ получалось такое превращеніе: за талантъ принимался не кусокъ опредѣленнаго вѣса, а кусокъ съ клеймомъ «талантъ», при чемъ вѣсу-то въ этомъ кускѣ было менѣе противъ должнаго, и слѣд. монета являлась неполноцѣнной.

Слѣдуетъ отмѣтить еще интересное совпаденіе, которое доказываетъ, что историческія вліянія простираются гораздо глубже, чѣмъ можно бы предполагать съ перваго раза. Заключается оно въ томъ, что есть связь между монетами современныхъ намъ англичанъ и монетами древнихъ вавилонянъ. Вавилоняне чеканили изъ мины чистаго золота 60 шекелей, а за 1 шекель давали 20 драхмъ серебряныхъ монетъ. Англійскій же фунтъ стерлинговъ (золотая монета, иначе наз. соверенъ) равенъ по вѣсу вавилонскому шекелю и содержитъ 20 шиллинговъ (шиллингъ—серебряная монета.) Такимъ образомъ, видно полное соотвѣтствіе между фунтомъ стерлинговъ и шекелемъ, а также между драхмой и шиллингомъ.