(3’)

где w_y = 2p/Т_у — частота ускоряющего поля, так что для увеличения равновесной энергии нужно либо увеличивать магнитное поле (синхротрон), либо уменьшать частоту ускоряющего поля (фазотрон), либо изменять и то и другое (синхрофазотрон), либо, наконец, изменять кратность ускорения q (микротрон). Закон изменения магнитного поля, частоты и кратности ускорения и определяет значение фазы j для равновесной частицы; вследствие автофазировки равновесная частица набирает именно ту энергию, которая определяется соотношением (3’). В соответствии с энергией изменяется радиус равновесной орбиты, определяемый формулой (2).

  Для неравновесных частиц, находящихся внутри области захвата, прирост энергии происходит неравномерно, но в среднем они приобретают ту же энергию, что и равновесная частица. Эти частицы «захвачены» в режим ускорения. Частицы, сильно отличающиеся от равновесных по фазе или по энергии, вообще в среднем не будут приобретать энергии, т.к. будут попадать то в ускоряющее, то в замедляющее поле («скользить по фазе ускоряющего напряжения»).

  Аналогичный механизм фазировки имеет место и в линейных резонансных ускорителях с той разницей, что там всегда время прохождения расстояний между соседними зазорами уменьшается с ростом энергии, так что устойчивая равновесная фаза всегда равна — j .

  Фокусировка частиц в ускорителях. В циклических ускорителях фокусировка достигается главным образом специальным подбором формы магнитного поля. Если бы магнитное поле было строго однородно, то при любом отклонении скорости частицы от плоскости орбиты ускоряемая частица уходила бы с равновесной орбиты в направлении оси магнита (по вертикали z ). Но если магнитное поле уменьшается с увеличением радиуса, то оно имеет «бочкообразную» форму (это связано с тем, что в отсутствии токов магнитное поле — безвихревое), благодаря чему сила F, действующая на частицу, имеет составляющую F_z по направлению к плоскости равновесной орбиты (рис. 2 ).

  Изменение поля по радиусу принято характеризовать показателем спада поля

. Т. о., для устойчивости движения в вертикальном (аксиальном) направлении необходимо выполнение условия n > 0, т. е. чтобы поле убывало с увеличением радиуса. Движение в радиальном направлении определяется соотношением между силой действия на частицу магнитного поля eB u/c и центростремительной силой m u²/R, соответствующей радиусу R. На равновесной орбите обе эти величины равны. Если частица с той же скоростью случайно оказалась на большем радиусе, то для обеспечения устойчивости в радиальном направлении нужно, чтобы сила действия магнитного поля на этом радиусе eB u/c была больше, чем m u²/R, т. е. чтобы магнитное поле уменьшалось медленее, чем 1/R. Тот же вывод получается, если рассмотреть случайное отклонение частицы в сторону меньших радиусов. Т. о., условие устойчивости в радиальном направлении налагает ограничение на скорость убывания магнитного поля: показатель спада поля n должен быть меньше 1 (n < 1). Для одновременной устойчивости в радиальном и вертикальном направлениях должно выполняться условие:

0 < n < 1.     (4)

  Можно показать, что силы фокусировки, действующие по радиусу и по вертикали, получаются при этом равными:

F_R = - (1-n ) m w² DR,

F_Z = — n m ×w² Dz ,     (5)

где m — масса, w — угловая скорость обращения частицы, DR и Dz — отклонения частицы от равновесной орбиты по радиусу и по вертикали. Под действием этих фокусирующих сил частицы совершают колебания (т. н. бетатронные колебания) вокруг равновесной орбиты с частотами:

,      (6)

  Эти частоты меньше частоты обращения w, т. е. за оборот частица совершает меньше одного бетатронного колебания. Фокусирующие силы ограничены предельно допустимыми значениями n. Такая фокусировка называется однородной, или слабой.

  Для того чтобы увеличить фокусирующую силу по вертикали, надо применить сильно спадающее поле (n > 1). Напротив, для получения большой фокусирующей силы по радиусу надо применить поле с большими отрицательными значениями n (т. е. сильно возрастающее по радиусу). Эти требования одновременно несовместимы. Однако оказывается, что при определённых ограничениях их можно реализовать поочерёдно, обеспечив тем самым сильную фокусировку и по радиусу, и по вертикали. На этом основан принцип знакопеременной фокусировки (рис. 3 ). Вся длина равновесной орбиты разбивается на большое число одинаковых периодов, в которых устанавливаются магниты, сильно фокусирующие попеременно то по радиусу, то по вертикали. При определённом соотношении между значениями показателя спада магнитного поля, длиной магнитов и числом периодов такая система обладает сильным фокусирующим действием по обоим поперечным направлениям. Физически это объясняется тем, что в фокусирующих магнитах частица оказывается дальше от равновесного положения, чем в дефокусирующих (т.к. предшествующий дефокусирующий магнит отклонил её от орбиты), поэтому действие фокусирующих магнитов сильнее действия дефокусирующих. Частота колебаний частиц при такой фокусировке получается существенно выше частоты обращения, так что за один оборот частица совершает несколько колебаний. Увеличение фокусирующей силы приводит к уменьшению амплитуды колебаний частиц под действием различных раскачивающих факторов, что позволяет уменьшить поперечные размеры вакуумной камеры и магнитов, а следовательно, существенно уменьшить вес и стоимость установки. Поэтому во всех крупных циклических ускорителях на большие энергии применяется знакопеременная (сильная) фокусировка. Неприятная особенность сильной фокусировки — наличие многочисленных резонансов, обусловленных большой частотой колебаний частиц: если число колебаний частицы по вертикали или по радиусу за один полный оборот частицы или их сумма или разность оказываются целыми или полуцелыми числами, то происходит резонансная раскачка колебаний. В связи с этим необходимо предъявлять большие требования к точности изготовления магнитов.

  Знакопеременная фокусировка магнитным полем применяется и в линейных ускорителях с той разницей, что на равновесной орбите (прямая) магнитное поле равно нулю. Система фокусировки представляет собой в этом случае набор магнитов (магнитных квадрупольных линз), создающих магнитное поле, равное нулю на оси О системы и линейно нарастающее при отклонении от оси (рис. 4 ). В одной плоскости магниты фокусируют частицы (сила F направлена к оси), в другой — дефокусируют (F направлена от оси). Эти плоскости фокусировки чередуются от магнита к магниту, что и приводит к знакопеременной фокусировке.

  При малых энергиях частиц наряду с магнитной фокусировкой применяется (как в циклических, так и в линейных ускорителях) фокусировка электрическим полем, для чего используется ускоряющее электрическое поле установки. Принцип фокусировки пояснён на рис. 5 . В обычном ускоряющем зазоре электрическое поле обычно «провисает» внутрь в центре зазора. Поэтому в первой части зазора оно имеет составляющую, направленную к оси зазора (фокусирующую), во второй — от оси зазора (дефокусирующую). Результирующий фокусирующий эффект получается, если фокусирующее действие оказывается больше дефокусирующего. Поскольку частица, проходя зазор, ускоряется, то во второй части зазора она летит быстрее, т. е. находится там меньшее время, чем в первой, поэтому фокусирующее действие преобладает. Этот эффект, основанный на изменении скорости частицы, называется электростатической фокусировкой. Он имеет заметную величину лишь для малых скоростей частиц, так что его применение в ускорителях ограниченно. Разность действия электрического поля в первой и во второй части зазора может быть обусловлена также изменением электрического поля во времени (электродинамическая фокусировка): если за время пролёта электрическое поле уменьшается, то дефокусирующее действие оказывается меньше фокусирующего. Фокусировка такого типа имеет место в циклотроне и фазотроне как дополнит. фактор к магнитной фокусировке. Однако в линейных ускорителях протонов устойчивой является отрицательная фаза j (см. выше), при которой поле растет со временем. Поэтому в линейных ускорителях электрическое поле дефокусирует и нужны специальные дополнительные меры для фокусировки частиц.