Развиваем интуитивное понимание случайных выборок: пример с леденцами

Попробуйте выполнить небольшое задание. Укажите 90-процентный доверительный интервал для среднего веса одного леденца в граммах, то есть вы должны назвать всего два числа (нижнюю и верхнюю границы интервала), отстоящих друг от друга ровно настолько, чтобы вы были на 90 % уверены в том, что средний вес леденца попадет в этот диапазон. Как всегда, делая калиброванную оценку вероятности, вы, конечно, имеете какое-то представление о неизвестном показателе, каким бы сомнительным оно ни было. Между прочим, один грамм — вес одного кубического сантиметра воды. Запишите предполагаемый CI, прежде чем двигаться дальше. Проверьте его, следуя указаниям из главы 5, сделав эквивалентную ставку, рассмотрев все «за» и «против» того, что диапазон значений обоснован, и испытав границы интервала на соответствие практике.

Предположим теперь, что у меня есть обычный пакетик с леденцами, который можно купить в любой кондитерской. Открыв этот пакетик, я вынимаю наугад несколько конфет и взвешиваю их по очереди на весах. Обратите внимание на вопросы, которые изложены далее. Ответьте на каждый, прежде чем перейти к следующему этапу.

1. Допустим, я скажу, что вес первого отобранного мной леденца — 1,4 грамма. Отвечает ли это вашему 90-процентному доверительному интервалу? Если нет, то каким будет ваш новый 90-процентный CI? Запишите измененный интервал, прежде чем двигаться дальше.

2. Теперь я сообщаю результаты взвешивания остальных четырех из пяти наугад отобранных леденцов: 1,4; 1,5; 1,6 и 1,1 грамма. Как теперь изменится 90-процентный CI? Запишите и его.

3. Наконец, я говорю о результатах взвешивания еще трех леденцов (так что всего их стало восемь): 1,5; 0,9 и 1,7 грамма. Каков теперь ваш 90-процентный CI? Запишите окончательный вариант.

Всякий раз при поступлении новой информации ваш доверительный интервал должен сужаться. Если сначала (до взвешивания) он был очень широк, то уже после первого взвешивания должно произойти его существенное сокращение.

Я дал этот тест девяти калиброванным экспертам и получил практически одинаковые результаты. Главное различие между ними состояло в степени неуверенности специалистов в своей первоначальной оценке. Самый узкий интервал составлял 1–3 грамма, а самый широкий — 0,5–50 граммов, однако чаще всего диапазоны выглядели, скорее, узкими. Получив дополнительную информацию, эксперты в большинстве своем (особенно начинавшие с очень широкого интервала) быстро сузили свои диапазоны. Эксперт, указавший интервал 1–3 грамма, не сократил его после первого взвешивания, а тот, кто предложил 0,5–50 граммов, сильно опустил верхнюю границу и в конце концов пришел к интервалу 0,5–6 граммов.

На самом деле один леденец из этого пакетика весил в среднем около 1,45 грамма. Интересно, что эксперты довольно быстро сузили свои интервалы на основании дополнительной информации всего о нескольких конфетах.

Подобные упражнения помогают развить интуитивное понимание сути случайной выборки и интервала. Как мы вскоре увидим, выяснение субъективного мнения калиброванных экспертов без применения того, что кто-то назвал бы «настоящей статистикой», весьма полезно и даже имеет ряд преимуществ перед традиционными статистическими методами. Но давайте сначала узнаем, что говорится о малых выборках в большинстве работ по статистике.

Кое-что о малых выборках: подход пивовара

Точно рассчитать 90-процентный CI для среднего веса одного леденца, а не полагаться на мнение калиброванных экспертов позволяет метод, разработанный одним пивоваром. Он преподается в базовом курсе статистики и часто используется для определения погрешности выборки, состоящей всего из двух объектов. В самом начале XX века Уильяму Сили Госсету, химику и статистику ирландской пивоваренной компании Guinness, потребовалось установить, какой из двух сортов ячменя дает лучшее пиво с большим выходом. Ранее был разработан метод z-значения (z-score), или статистики нормальных распределений, позволяющий находить доверительный интервал на основе случайной выборки, состоящей из не менее чем 30 объектов. Метод дает распределения, не отличающиеся по форме от обсуждавшегося выше нормального. К сожалению, у Госсета не было возможности протестировать большое число партий пива, изготовленных из каждого сорта ячменя. Однако он не отказался от своей затеи измерить то, что как будто не поддавалось оценке, и решил вывести новый вид распределения для крайне малых выборок. К 1908 г. Госсет разработал новый эффективный метод, который назвал t-статистикой, и захотел опубликовать результаты своей работы.

Однако у Guinness уже были проблемы с разглашением коммерческой тайны, и служащим компании было запрещено публиковать любую информацию о бизнес-процессах. Госсет понимал значение своей работы, но ему сильнее хотелось рассказать о своей идее, чем добиться немедленного признания. Поэтому он опубликовал статью под псевдонимом «Стьюдент». И хотя истинный автор давно известен, практически во всех работах по статистике метод называется t-статистикой Стьюдента.

Вид распределения Стьюдента напоминает обсуждавшееся нами ранее нормальное распределение. Но в случае очень малых выборок его форма становится намного уплощеннее и шире. Рассчитанный с помощью t-статистики 90-процентный CI намного шире (то есть неопределеннее), чем в случае нормального распределения. Если размер выборки больше 30, то график t-распределения практически совпадает с нормальным распределением.

И для одного, и для другого типа распределения существует сравнительно простой (по сравнению со многими другими статистическими методами) способ расчета 90-процентного доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности. Кому-то наши расчеты могут показаться слишком сложными, а те, кто уже знаком с данным методом, скажут, что мы просто пересказываем содержание учебников по статистике. Пусть первые подождут, пока мы не рассмотрим в следующей главе намного более простое решение, а вторые просто пропустят этот материал. Адресуя свои пояснения читателям, которые отнесут себя к средней категории, я старался сделать их как можно более простыми для восприятия. Вот как мы могли рассчитать 90-процентный CI в предыдущем примере, отобрав всего пять леденцов.

1. Рассчитаем сначала дисперсию выборки (этим понятием мы позднее будем часто пользоваться):

а) рассчитаем средний вес отобранных леденцов: (1,4 + 1,4 + 1,5 + 1,6 + 1,1)/5 = 1,4;

б) вычтем это среднее из каждого значения в выборке и возведем полученные результаты в квадрат: (1,4–1,4)² = 0; (1,5–1,4)² = 0,01² и т. д.;

в) суммируем все квадраты и разделим на размер выборки минус единица: (0 + 0 + 0,01 + 0,04 + 0,09)/(5–1) = 0,035.

2. Разделим дисперсию выборки на ее размер и извлечем из полученного результата квадратный корень. В электронной таблице мы записали бы «=SQRT (0,035/5)» и получили 0,0837.

(В работах по статистике это называется средним квадратичным отклонением.)

3. Найдем в таблице 9.1 (таблице упрощенных значений t-статистики) значение t, соответствующее размеру выборки: для выборки, состоящей из пяти объектов, t = 2,13. Обратите внимание, что для очень больших выборок t близко к z-значению (нормальное распределение) 1,645.

4. Умножим найденное t-значение на результат этапа 2: 2,13 × 0,0837 = 0,178. Это ошибка выборки в граммах.

5. Суммируем ошибку выборки и средний вес леденца, чтобы получить верхнюю границу 90-процентного CI, а затем вычтем ее из среднего веса, чтобы получить нижнюю границу: верхняя граница = 1,4 + 0,178 = 1,578; нижняя граница = 1,4–0,178 = 1,222.

Итак, выбрав всего пять леденцов, мы получили 90-процентный CI, составляющий 1,222–1,578. Аналогично рассчитывают доверительный интервал и для более крупных выборок. Единственная разница заключается в том, что z-значение, необходимое для этого, всегда будет составлять 1,645 (с ростом размера выборки оно не увеличится).