Пример применения метода Монте-Карло и расчета риска

Приведем очень простой пример моделирования методом Монте-Карло для тех, кто никогда не работал с ним ранее, но имеет определенное представление об использовании электронных таблиц Excel. А люди, уже пользовавшиеся данным методом, могут просто пропустить несколько следующих страниц.

Предположим, что вы хотите арендовать новый станок для некоего этапа производственного процесса. Стоимость годовой аренды станка 400 000 дол., и договор нужно подписать сразу на несколько лет. Поэтому, не достигнув точки безубыточности, вы не сможете сразу вернуть станок. Вы собираетесь подписать договор, думая, что современное оборудование позволит сэкономить на трудозатратах и стоимости сырья и материалов, а также поскольку считаете, что материально-техническое обслуживание нового станка обойдется дешевле.

Ваши калиброванные специалисты по оценке дали примерные интервалы значений ожидаемой экономии. Кроме того, они рассчитали ожидаемые годовые объемы производства для данного процесса:

Рассчитаем теперь годовую экономию по следующей очень простой формуле:

Годовая экономия = (MS + LS + RMS) × PL.

Конечно, этот пример слишком прост, чтобы быть реалистичным. Объем производства каждый год меняется, какие-то затраты снизятся, когда рабочие окончательно освоят новый станок, и т. д. Но мы в этом примере намеренно пожертвовали реализмом ради простоты.

Если мы возьмем медиану каждого из интервалов значений, то получим:

Годовая экономия = (15 + 3 + 6) × 25 000 = 600 000 (дол.).

Похоже, что мы не только добились безубыточности, но и получили кое-какую прибыль, но не забывайте — существуют неопределенности. Как же оценить рискованность этих инвестиций? Давайте прежде всего определим, что такое риск в данном контексте. Помните? Чтобы получить риск, мы должны наметить будущие результаты с присущими им неопределенностями, причем какие-то из них — с вероятностью понести ущерб, поддающийся количественному определению. Один из способов взглянуть на риск — представить вероятность того, что мы не добьемся безубыточности, то есть что наша экономия окажется меньше годовой стоимости аренды станка. Чем больше нам не хватит на покрытие расходов на аренду, тем больше мы потеряем. Сумма 600 000 дол. — это медиана интервала. Как определить реальный интервал значений и рассчитать по нему вероятность того, что мы не достигнем точки безубыточности?

Поскольку точные данные отсутствуют, нельзя выполнить простые расчеты для ответа на вопрос, сможем ли мы добиться требуемой экономии. Есть методы, позволяющие при определенных условиях найти интервал значений результирующего параметра по диапазонам значений исходных данных, но для большинства проблем из реальной жизни такие условия, как правило, не существуют. Как только мы начинаем суммировать и умножать разные типы распределений, задача обычно превращается в то, что математики называют неразрешимой или не имеющей решения обычными математическими методами проблемой. Именно с такой задачей столкнулись физики, работавшие над расщеплением ядра. Поэтому взамен мы пользуемся методом прямого подбора возможных вариантов, ставшим возможным благодаря появлению компьютеров. Из имеющихся интервалов мы выбираем наугад множество (тысячи) точных значений исходных параметров и рассчитываем множество точных значений искомого показателя.

Моделирование методом Монте-Карло — превосходный способ решения подобных проблем. Мы должны лишь случайным образом выбрать в указанных интервалах значения, подставить их в формулу для расчета годовой экономии и рассчитать итог. Одни результаты превысят рассчитанную нами медиану 600 000 дол., а другие окажутся ниже. Некоторые будут даже ниже требуемых для безубыточности 400 000 дол.

Вы легко сможете осуществить моделирование методом Монте-Карло на персональном компьютере с помощью программы Excel, но для этого понадобится чуть больше информации, чем 90-процентный доверительный интервал. Необходимо знать форму кривой распределения. Для разных величин больше подходят кривые одной формы, чем другой. В случае 90-процентного доверительного интервала обычно используется кривая нормального (гауссова) распределения. Это хорошо знакомая всем колоколообразная кривая, на которой большинство возможных значений результатов группируются в центральной части графика и лишь немногие, менее вероятные, распределяются, сходя на нет к его краям (см. рис. 6.1).

Говоря о нормальном распределении, необходимо упомянуть о таком связанном с ним понятии, как стандартное отклонение. Очевидно, не все обладают интуитивным пониманием, что это такое, но поскольку стандартное отклонение можно заменить числом, рассчитанным по 90-процентному доверительному интервалу (смысл которого интуитивно понимают многие), я не буду здесь подробно на нем останавливаться. Рисунок 6.1 показывает, что в одном 90-процентном доверительном интервале насчитывается 3,29 стандартного отклонения, поэтому нам просто нужно будет сделать преобразование.

В нашем случае следует создать в электронной таблице генератор случайных чисел для каждого интервала значений. Следуя инструкциям рисунка 6.1, мы можем выбрать случайные значения параметра MS (экономия на материально-техническом обслуживании) по формуле Excel:

=norminv(rand(),15,(20–10)/3,29).

Проделаем то же самое для остальных интервалов значений. Некоторые предпочитают пользоваться генератором случайных цифр из Excel Analysis Toolpack. Я привожу эту формулу в таблице 6.1 на случай, если вы захотите попрактиковаться.

Построим на основе наших данных таблицу, аналогичную таблице 6.1. Два последних столбца показывают результаты расчетов на основе данных других столбцов. В столбце «Общая экономия» показана годовая экономия, рассчитанная для каждой строки. Например, в случае реализации сценария 1 общая экономия составит (9,27 + 4,30 + 7,79) х 23 955 = 511 716 (дол.). Столбец «Достигается ли безубыточность?» вам на самом деле не нужен. Я включил его просто для информативности. Теперь скопируем таблицу и сделаем 10 000 строк.

Чтобы оценить полученные результаты, можно использовать пару других простых инструментов, имеющихся в Excel. Функция «=countif()» позволяет рассчитывать значения величин, отвечающие определенному критерию, — в данном случае те значения годовой экономии, которые меньше 400 000 дол. Или же для полноты картины вы можете воспользоваться инструментом построения гистограмм из Analysis Toolpack. Он подсчитает число сценариев в каждой области, или инкрементной группе значений. Затем вы строите график, отображающий результаты расчета (см. рис. 6.2). Этот график показывает, сколько из 10 000 сценариев будут иметь годовую экономию в том или ином интервале значений. Например, в более чем 1000 сценариев годовая экономия составит от 300 000 до 400 000 дол.

Из всех полученных значений годовой экономии примерно 14 % будут меньше 400 000 дол. Это означает, что вероятность ущерба составляет 14 %. Данное число и представляет содержательную оценку риска. Но риск не всегда сводится к возможности отрицательной доходности инвестиций. Оценивая размеры вещи, мы определяем ее высоту, массу, обхват и т. д. Точно так же существуют и несколько полезных показателей риска. Дальнейший анализ показывает: есть вероятность 3,5 % того, что завод вместо экономии будет терять ежегодно по 100 млн дол. Однако полное отсутствие доходов практически исключено. Вот что подразумевается под анализом риска — мы должны уметь рассчитывать вероятности ущерба разного масштаба. Если вы действительно измеряете риск, то должны делать именно это. С дополнительным материалом к данному примеру можно ознакомиться на сайте www.howtomeasureanything.com