Невозможно что-то сделать и вместе с тем не сделать, выполнить какое-то действие и одновременно воздержаться от него. Нельзя засмеяться и не засмеяться, вскипятить воду и не вскипятить ее. Понятно, что требовать от человека выполнения невозможного неразумно: он все равно нарушит это требование. На этом основании в логику норм вводят принцип, согласно которому действие и воздержание от него не могут быть вместе обязательными.

Реальные системы норм – особенно включающие тысячи и десятки тысяч норм – обычно не вполне последовательны. В них тем или иным путем появляются нормы, одна из которых запрещает что-то, а другая разрешает это же самое или одна требует сделать что-то, а другая предписывает воздерживаться от этого. Существование таких систем с конфликтующими нормами не означает, конечно, что логика не должна требовать непротиворечивости нормативного рассуждения. Реальные научные теории тоже развиваются постепенно, путем их постоянного расширения и перестройки. Новое в этих теориях иногда оказывается не совместимым со старым. Непоследовательность и прямая противоречивость теорий не считаются основанием для отказа от логического требования непротиворечивости. Противоречивость многих существующих систем норм также не означает, что от них не следует требовать логической последовательности и непротиворечивости.

Острой критике классическая логика подверглась за то, что она не дает корректного описания логического следования.

Основная задача логики – систематизация правил, позволяющих из принятых утверждений выводить новые. Возможность получения одних идей в качестве логических следствий других лежит в фундаменте любой науки. Это делает проблему верного описания логического следования чрезвычайно важной. Неудача в ее решении отрицательно сказывается не только на самой логике, но и на методологии науки.

Логическое следование – это отношение, существующее между утверждениями и обоснованно выводимыми из них заключениями, отношение, хорошо известное нам из практики обычных рассуждений. Задача логики – уточнить интуитивное, стихийно сложившееся представление о следовании и сформулировать на этой основе однозначно определенное понятие следования. Последнее должно, конечно, находиться в достаточном соответствии с замещаемым им интуитивным представлением.

Логическое следование должно вести от истинных положений только к истинным. Если бы выводы, относимые к обоснованным, давали возможность переходить от истины ко лжи, то установление между утверждениями отношения следования потеряло бы всякий смысл. Логический вывод превратился бы из способа разворачивания и развития знания в средство, стирающее грань между истиной и заблуждением.

Классическая логика удовлетворяет требованию вести от истины только к истине. Однако многие ее положения о следовании плохо согласуются с нашим привычным представлением о нем.

В частности, классическая логика говорит, что из противоречия логически следует все что угодно. Например, из противоречивого утверждения «Токио – большой город, и Токио не является большим городом» следуют наряду с любыми другими утверждения: «Математическая теория множеств непротиворечива», «Луна сделана из зеленого сыра» и т.п. Но между исходным утверждением и этими якобы вытекающими из него утверждениями нет никакой содержательной связи. Здесь явный отход от обычного представления о следовании.

Точно так же обстоит дело и с классическим положением, что логические законы вытекают из любых утверждений. Наш логический опыт отказывается признать, что, скажем, утверждение «Лед холодный или лед не холодный» можно вывести из утверждений типа «Два меньше трех» или «Аристотель был учителем Александра Македонского». Следствие, которое выводится, должно быть как-то связано с тем, из чего оно выводится. Классическая логика пренебрегает этим очевидным обстоятельством.

Важную роль во всех наших рассуждениях играют условные утверждения, формулируемые с помощью союза «если…, то…». Они выполняют много различных задач, но их типичная функция – обоснование одних утверждений ссылкой на другие. К примеру, электропроводность меди можно обосновать, ссылаясь на то, что она металл: «Если медь – металл, то она проводит электрический ток».

Условное утверждение в логике называется импликацией.

Классическая логика так истолковывает условное утверждение «Если А, то В»: оно ложно только в том случае, когда А истинно, а В ложно, и истинно во всех остальных случаях. Оно истинно, в частности, когда А ложно или когда В истинно. Содержательная, смысловая связь утверждений А и В при этом во внимание не принимается. Если даже они никак не связаны друг с другом, составленное из них условное утверждение может быть истинным.

Так истолкованное условное утверждение получило название материальной импликации. Согласно ее определению, истинными должны считаться такие, к примеру, утверждения: «Если Луна обитаема, то дважды два равно четырем», «Если Земля – куб, то Солнце – треугольник» и т.п. Очевидно, что, если даже материальная импликация полезна для многих целей, она все-таки плохо согласуется с обычным пониманием условной связи.

Прежде всего эта импликация плохо выполняет функцию обоснования. Вряд ли являются в каком-либо разумном смысле обоснованиями такие утверждения, как: «Если Наполеон умер на Корсике, то закон Архимеда открыт не им», «Если медь – египетское божество, она электропроводна». Нельзя сказать, что, поставив перед истинным утверждением произвольное высказывание, мы тем самым обосновали это утверждение. Классическая же логика говорит: истинное утверждение может быть обосновано с помощью любого утверждения.

Трудно отнести к обоснованиям и такие истинные материальные импликации, как: «Если львы не имеют зубов, то у жирафов длинные шеи», «Если дважды два равно пяти, то Юпитер обитаем» и т.п. Однако классическая логика говорит: с помощью ложного утверждения можно обосновать все, что угодно.

Эти и подобные им положения об обосновании, отстаиваемые классической логикой, получили название парадоксов материальной импликации. Они не согласуются с привычными представлениями относительно обоснования одних утверждений с помощью других.

Таким образом, классическая логика не может быть признана удачным описанием логического следования. Первым на это указал еще в 1912 г. американский логик К. Льюис. Тогда логика находилась на подъеме, она казалась безупречной, и критика Льюиса в ее адрес не была воспринята всерьез. Его даже обвинили в непонимании существа дела. Но он продолжал заниматься этой проблемой и предложил новую теорию логического следования, в которой материальная импликация замещалась другой условной связью – строгой импликацией. Это было большим шагом вперед, хотя и оказалось, что строгая импликация тоже не лишена собственных парадоксов.

Более совершенное описание условной связи и логического следования было дано в 50-е гг. немецким логиком В.Аккерманом и американскими логиками А.Андерсеном и Н.Белнапом. Им удалось исключить не только парадоксы материальной импликации, но и парадоксы строгой импликации. Введенная ими импликация получила название релевантной (т.е. уместной), поскольку ею можно связывать только утверждения, имеющие какое-то общее содержание.

В настоящее время теория логического следования является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов неклассической логики. Интересный новый подход недавно намечен немецким логиком Х.Весселем. Он предложил разделить две задачи, ранее решавшиеся одновременно: сначала описать основные правила логического следования, а уже затем вводить разные типы условных связей, или импликаций. Оценка этого подхода – дело будущего.

Возникновение квантовой механики, пришедшей на смену классической механике Ньютона, произвело подлинный переворот в физическом мышлении.