Благодаря работам отечественного математика Виктора Александровича Колывагина, а также доказательству теоремы Ферма Эндрю Уайлсом это утверждение уже доказано в одну сторону: если L(1) #8800; 0, то количество рациональных точек конечно. Доказательство в другую сторону - предмет долгих и безуспешных поисков. Кроме того, открыт путь для обобщений гипотезы - в частности, к изучению рациональных точек не только кривых, но и поверхностей более высокой размерности (то есть уравнений с бульшим количеством переменных). Например, Леонард Эйлер еще в 1769 году выдвинул гипотезу, что уравнение x4 + y4 + z4 = t4 не имеет ненулевых решений. Эту гипотезу, как и похожую на нее гипотезу Ферма, долгое время не могли доказать, но результат в данном случае оказался иным: в 1988 году обнаружился контрпример (точнее, бесконечно много контрпримеров). Вот минимальный из них (проверить легко - но представьте, как трудно было бы его найти без развитой теории): 2682440 4 + 15365639 4 + 18796760 4 = 20615673 4

Алгебраическая геометрия - наука, приложения которой, как правило, отнюдь не очевидны. Математикам, чтобы годами биться над интересной задачей, приложения и вовсе не нужны: да, великая теорема Ферма имеет некоторый криптографический смысл, но попытки ее доказательства привели к созданию и развитию нескольких важных разделов современной математики задолго до того, как криптография оформилась как математическая дисциплина.

Вот и в случае гипотезы Берча-Свиннертон-Дайера непосредственных приложений, о которых можно было бы здесь рассказать, сразу не видно. Разумеется, в своей области гипотеза занимает центральное место: мы пока не умеем искать рациональные точки алгебраических многообразий (заданных полиномиальными уравнениями множеств), и доказательство гипотезы Берча-Свиннертон-Дайера могло бы доставить математикам новые методы и подходы к этому поиску.

Однако история не раз подтверждала, что творения математика переживают столетия лишь тогда, когда он работает без практических применений, а для удовлетворения собственного любопытства. А ориентированные на практику исследования очень редко приносят глубокие, фундаментальные результаты. Кто знает, возможно, гипотеза Берча-Свиннертон-Дайера станет основой теории, которая в очередной раз изменит мир.