Рис. 2. Структура модели образования динамической и мультипликативной дополнительной погрешностей при учете динамических свойств каналов сигналов входного и влияющего воздействий

При наличии в измерительном канале инерционности в результат измерения помимо дополнительной погрешности вносится еще и динамическая погрешность. Существующие методы расчета позволяют вычислить отдельно каждую составляющую, а затем, произвести геометрическое суммирование. При этом, как правило, предполагается, что эти составляющие статистически независимы. В действительности, это допущение не совсем корректно, т. к. не учитывает наличие корреляционной связи между составляющими суммарной погрешности, возникающей при прохождении измерительного сигнала и сигнала влияющей величины через тракт ИП.

Суммарная погрешность ИП, будет определяться из соотношения:

Δ(t) = x(t) — y₁(t) = x(t) — [a∙y(t)e(t) + y(t)].

Определим квадрат суммарной погрешности:

Δ²(t) = [x(t) — y(t) — ay(t)e(t)]² = [x(t) — y(t)]² + a²y²(t)e²(t) — 2ay(t)[x(t) — y(t)].

В выражении (11) присутствуют 3 составляющие. Первая определяет квадрат динамической погрешности Δ²_дин; вторая — квадрат дополнительной погрешности Δ²_доп; третья — член, обусловлен наличием корреляционной связи между дополнительной и динамической погрешностями.

Рассмотрим, в качестве примера, случай, когда случайный процесс на входе измерительного канала имеет спектральную плотность мощности вида:

S_x(ω) = 2σ²_xα/π(α² + ω²),

где α — параметр функции СПМ, а передаточная функция каналов воздействия сигналов ИП описываются инерционным звеном первого порядка:

W(jω) = 1/(1 + jωT))

где Т — постоянная времени.

Дисперсии измеряемой и влияющей величин соответственно равны [12]:

σ²_y = σ²_x/(1 + αT₁),

σ²_e = σ²_ε/(1 + αT₂),

Примем так же, как наиболее характерный случай, что корреляционная матрица входного воздействия и влияющей величины определена как:

где а_х, а_ε и а_хε, а_εх, с = σ_xσ_εp_xε — параметры соответственно корреляционных и взаимных корреляционных функций измеряемого и влияющего воздействий.

Математическое ожидание квадрата динамической погрешности равно:

M{Δ²_дин} = σ_xВ₁/(1 + B₁)

где В₁ = а_xТ₁.

Математическое ожидание квадрата мультипликативной дополнительной погрешности:

где В₂ = а_εТ₂.

Математическое ожидание корреляционной составляющей суммарной погрешности определяется из следующего выражения:

где B₃ = a_xεT₁; B₄ = a_xεT₂.

Максимальное увеличение суммарной динамической и дополнительной погрешности, при учете корреляционной связи между этими погрешностями, в рассмотренном примере, не превышает 20 %. Такое увеличение суммарной погрешности является несущественным и, поэтому, во многих случаях, корреляционной составляющей можно пренебречь.

В том случае, если дополнительная погрешность является чисто аддитивной, то математическое ожидание ее квадрата определяется только статистическими параметрами влияющей величины:

M{Δ²_доп} = b2[μ²_ε + σ²_ε]. (15)

где b — коэффициент влияния аддитивной дополнительной погрешности.

На рис. 3 представлена структура модели образования мультипликативно-аддитивной дополнительной погрешности.

Рис. 3. Структура модели образования мультипликативно-аддитивной дополнительной погрешности измерительного преобразователя

Дополнительная погрешность на выходе ИП равна:

Δ_доп(t) = ax(t)ε(t) + bε(t).

Математическое ожидание квадрата мультипликативно-аддитивной дополнительной погрешности, при учете корреляции между измеряемой и влияющей величиной, равно:

Выражение (16) состоит из трех частей, образующих три слагаемых суммарной погрешности. Первая часть характеризует мультипликативную составляющую, которая совпадает с (6). Вторая часть — аддитивную, совпадающую с (15). Третья — характеризует статистическую зависимость между аддитивной и мультипликативной составляющими суммарной погрешности:

M{Δ_p} = 2ab[μ_xμ²_ε + μ_xσ²_ε + 2μ_εσ_xσ_εp_xε]. (17)

Максимальное увеличение суммарной дополнительной погрешности, при учете корреляционной связи достигает 100 %. Такое увеличение суммарной погрешности за счет корреляционной составляющей является существенным и поэтому ее следует обязательно учитывать при расчетах аддитивно-мультипликативной дополнительной погрешности.

Рассмотренная в качестве примера структура измерительного канала, имеющая инерционные звенья, является лишь частным случаем более сложных динамических структур. Наличие в каналах измеряемой и влияющей величин сложных динамических структур не позволяет представлять результаты в аналитическом виде. В этих случаях следует использовать численное моделирование.

_{Литература}

_{1. Миф Н.П. Оптимизация точности измерений в производстве. — М.: Издательство стандартов, 1991. - 136 с.}

_{2. Нормирование и использование метрологических характеристик средств измерений. Нормативно-технические документы. ГОСТ 8.009-84, методический материал по применению ГОСТ 8.009-84, - М.: Изд-во стандартов, 1985.}

_{3. Волгин В.В. Модели случайных процессов для вероятностных задач синтеза АСУ. Генеральная совокупность реализаций. Эргодичность. Единственная реализация. — М.: Издательство МЭИ, 1998. - 64 с.}

_{4. Волгин В.В., Каримов PH. Оценка корреляционных функций в промышленных системах управления. — М.: Энергия, 1979. - 80 с.}

_{5. Сергеев А.Г., Крохин В.В. Метрология. — М.: Логос, 2000.}

_{6. Пинхусович P.Л, Кузнецов Б.Ф., Пудалов А.Д. Метод расчета дополнительной погрешности измерительных преобразователей при коррелированных воздействиях. // Измерительная техника, 2002, № 9, с. 12–14.}

_{7. Пинхусович P.Л, Кузнецов Б.Ф., Пудалов А.Д. Модель дополнительной погрешности измерительных преобразователей от множества влияющих воздействий. // Математические методы в технике и технологиях: Сборник трудов XV Международной научной конференции. В 10-и т. Том 7. Секция 7/ Под общ. Ред. B.C. Балакирева. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2002, с. 13–16.}