При желании придраться можно пожаловаться на нестрогое доказательство того, что на первом рисунке квадрат (того, что длина сторон этой фигуры одинакова, недостаточно: сожмите пальцами противоположные углы квадрата – и получите фигуру под названием ромб: это явно не квадрат, но стороны по-прежнему равны). Но пусть так. До ознакомления с этой иллюстрацией у вас нет оснований считать, что теорема Пифагора верна, но, увидев ее, вы поймете, почему теорема верна. Подобные доказательства, когда геометрическая фигура разрезается на части, которые потом переставляются, называются доказательствами разрезания и ценятся за ясность и изобретательность. Математик и астроном XII века Бхаскара[57] показывает такую форму доказательства теоремы и находит изображение настолько убедительным, что для него не требуется словесное пояснение, просто подпись в виде одного слова «Смотри!»[58]. Любитель-математик Генри Перигал в 1830 году придумал собственное доказательство разрезанием, когда пытался, подобно Линкольну, квадрировать круг; он настолько высоко ценил свою схему[59], что спустя почти шестьдесят лет завещал вырезать ее на своем надгробии.
ЧЕРЕЗ МОСТ ОСЛОВ
Нам нужно знать, как решать геометрические задачи чисто формальными выводами, однако геометрия – это не просто последовательность чисто формальных выводов. Если бы это было так, то это был бы не лучший способ научить искусству систематических рассуждений в сравнении с тысячей других вещей. Мы могли бы объяснять шахматные задачи или судоку. Или создать систему аксиом, вообще не имеющую никакого отношения к какой-либо области человеческой деятельности, и заставлять учащихся выводить из нее следствия. Но вместо всего этого мы преподаем геометрию, поскольку она – формальная система, которая не просто формальная система. Она встроена в наши представления о пространстве, положении и движении. Мы не можем не быть геометрическими. Иными словами, у нас есть интуиция.
В эссе 1905 года геометр Анри Пуанкаре определил интуицию и логику как два незаменимых столпа математического мышления. Каждый математик склонен к той или иной стороне, и, как отмечает Пуанкаре, нам свойственно именовать геометрами тех, кто сильнее предрасположен к интуитивному мышлению. Нам нужны оба столпа. Без логики мы не могли бы ничего сказать о 1000-угольнике – объекте, который нам не представить ни в каком разумном смысле. Но без интуиции предмет теряет всю свою привлекательность. Пуанкаре объясняет, что Евклид – это мертвая губка:
Вы, несомненно, видели[60] те тонкие структуры кремниевых игл, которые формируют скелет некоторых губок. Когда органическая материя исчезает, остается только хрупкое и изящное кружево. Правда, там нет ничего, кроме оксида кремния, но интересна именно та форма, которую он принял, и мы не могли бы ее понять, если бы не знали живой губки, которая и придала ему такую форму. Именно так и старые интуитивные представления наших отцов – даже тогда, когда мы отказались от них, – все еще придают форму логическим построениям, которые пришли им на смену.
Каким-то образом нам нужно научить людей делать выводы, не отрицая наличия интуитивных способностей – той самой живой ткани губки. И все же мы не хотим, чтобы нами управляла исключительно интуиция. Здесь поучительна история постулата о параллельных. Евклид включил его в список аксиом: «Если дана прямая L и точка P вне ее, то через точку P можно провести одну и только одну прямую, параллельную прямой L»[61].
Это сложно и громоздко по сравнению с другими аксиомами, которые выглядят изящнее, например: «Через любые две точки можно провести прямую». Математикам казалось, что было бы лучше, если бы получилось вывести пятую аксиому из четырех других, которые считались более базовыми.
Но зачем? Ведь наша интуиция громко кричит, что пятая аксиома верна. Что может быть бесполезнее, чем пытаться это доказать? Это все равно что спрашивать, можем ли мы доказать, что 2 + 2 = 4. Мы это знаем!
И все же математики упорствовали, раз за разом безуспешно пытаясь показать, что пятая аксиома выводится из остальных. В итоге оказалось, что усилия изначально были обречены на неудачу, потому что существуют и другие геометрии, в которых прямая, точка и плоскость означают вовсе не то, что подразумевал под этими словами Евклид (и, вероятно, вы), однако они удовлетворяют первым четырем аксиомам, но не удовлетворяют пятой. В некоторых из этих геометрий через точку P проходило бесконечно много прямых, параллельных прямой L. В других не было ни одной такой прямой.
Нет ли тут обмана? Мы же не спрашиваем о каких-то геометрических сущностях других странных миров, которые извращенно называем прямыми. Мы говорим о настоящих прямых, для которых пятый постулат Евклида, безусловно, верен.
Да, конечно, вы можете пойти этим путем. Но, поступая таким образом, сознательно закроете себе доступ к целому миру геометрий просто потому, что это не та геометрия, к которой вы привыкли. Неевклидова геометрия – фундамент для обширных областей математики, включая и ту, что описывает физическое пространство, в котором мы реально живем. (Мы вернемся к этому вопросу через несколько страниц.) Мы могли бы отказаться открывать ее на основании своего жесткого евклидова пуризма. Но это была бы наша потеря.
Вот еще один пример, требующий нахождения баланса между формальной логикой и интуицией. Предположим, у нас есть равнобедренный треугольник, то есть его стороны AB и AC равны. Теорема: углы B и C тоже равны.
Это утверждение иногда называют pons asinorum, то есть мост ослов, потому что это штука, через которую почти всех нас нужно осторожно провести. Здесь доказательство Евклида поважнее, чем вышеописанная ситуация с прямыми углами. Мы сразу оказываемся in medias res[62], хотя в школе подходили к мосту ослов только после нескольких недель подготовки. Поэтому примем как данность Предложение 4 книги I Евклида, где говорится, что если вы знаете две стороны треугольника и угол между ними, то можете найти длину третьей стороны и два оставшихся угла. Иными словами, если я нарисую так:
то существует только один способ восстановить оставшуюся часть треугольника. Другой способ сказать то же самое: если у двух треугольников равны две пары сторон и углы между ними, то у них равны все углы и все стороны, то есть, как говорят геометры, треугольники равны, или конгруэнтны.
Мы уже обращались к этому факту, когда угол между двумя сторонами был прямым, но я думаю, что и в случае произвольного угла это кажется столь же понятным.
(Кстати, справедливо и следующее: если три стороны двух треугольников равны, то и треугольники равны; например, если длины сторон 3, 4 и 5 равны, то треугольник должен быть прямоугольным, как я нарисовал выше. Однако это менее очевидно, что Евклид и доказал несколько позднее: Предложение I.8. Если вам кажется, что это очевидно, подумайте о четырехугольнике: вспомните ромб, с которым мы недавно встречались, – у него такие же стороны, как у квадрата, но он же не квадрат.)
