Заглавие знаменитой статьи Вигнера [2] такое: “The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences”, и статья заканчивается так:

The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve. We should be grateful for it and hope that it will remain valid in future research and that it will extend, for better or for worse, to our pleasure, even though perhaps also to our bafflement, to wide branches of learning.

Таким образом, Wigner рассматривает математику не как абстрактную науку, а как аппарат для описания природы. Так как почти всю свою жизнь я общался с физиками, то тоже так думал. Но недавно, когда готовил статью для Open Mathematics и общался с некоторыми математиками, то увидел, что они считают математику как чисто абстрактную науку для которой неважно, имеет ли она применения для описания природы.

В принципе, такой подход тоже имеет право на существование, и история показывает, что многие математические результаты, которые одно время считались чисто абстрактными, в конце концов находили свое применение в физике. Но даже если какие-то результаты не будут иметь применения, то они могут иметь чисто эстетическое значение. Ведь мы не требуем, чтобы поэзия или музыка имели какие-то приложения для описания природы.

В поэзии и музыке, главное – красота, которая словами не передается. В математике, как говорил Дирак, тоже главное – красота формул. Но здесь есть какие-то критерии. Под влиянием лекций М.А. Наймарка, я думал, что строгость математических доказательств – для математиков святое, и этим они никогда не пожертвуют. Но так ли это?

Классическая математика использует понятия бесконечно больших и бесконечно малых, которые впервые предложили Ньютон и Лейбниц более 300 лет тому назад. Тогда люди не знали об атомах и элементарных частицах и, исходя из повседневного опыта, думали, что любое тело можно разделить на сколь угодно большое число сколь угодно малых частей. Но из самого факта существования элементарных частиц следует, что обычное деление имеет ограниченную применимость. Мы можем разделить любое макроскопическое тело на десять, тысячу, миллион, но когда мы доходим до атомов и элементарных частиц, дальнейшее деление теряет смысл. Например, энергии электронов на ускорителях в миллионы раз больше чем их энергия покоя, и такие электроны испытывают много столкновений с разными частицами. Если бы электрон можно было разделить, то это уже давно заметили бы.

Из этого простого и хорошо известного соображения казалось бы, сразу следует, что применять классическую математику в квантовой теории по крайней мере неестественно. Поэтому возникает естественный вопрос, не должна ли квантовая теория строиться, исходя из другой математики. Можно сказать, что эта проблема возникает, если считать, что математика должна описывать природу, но если считать математику чисто абстрактной наукой (как считают многие математики), то эта проблема не имеет значения, а главное – чтобы все было строго.

В таком подходе к математике (назовем его подходом Гильберта) цель математики – найти полную и самосогласованную систему аксиом в которой можно будет заключить является ли каждое математическое утверждение правильным или нет. Эта проблема формулируется как проблема Entscheidungsproblem в которой рассматриваются утверждения и ответы "Да" или "Нет" в зависимости от того является ли данное утверждение законным в любой структуре удовлетворяющей аксиомам. Можно ли найти такую систему аксиом?

Классическая математика содержит факты, которые, казалось бы, противоречат здравому смыслу. Например, функция tgx является взаимно-однозначным отображением интервала (-π/2,π/2) на (-∞,∞). Поэтому часть имеет столько же элементов сколько целое. Другой пример – парадокс Grand Hotel Гильберта. Но в подходе Гильберта эти примеры не считаются противоречивыми. Классическая математика исходит из аксиом, которые принимаются на веру, без доказательства. Казалось бы, раз наука – не религия, то в ней не должно быть утверждений принимаемых на веру. Более того, как следует из теорем Гёделя, любая математика, основанная на множестве всех натуральных чисел, содержит утверждения, которые не могут быть доказаны и такая математика не может доказать, что она самосогласованна.

Я спрашивал у математиков, что раз они утверждают, что исходят из строгой науки, то тогда как же быть с теоремами Гёделя, которые говорят, что стандартная математика нестрогая? Но обычный ответ такой что раз теория, исходящая из аксиом стандартной математики хорошо описывает природу, то такой подход допустим, и вся история человечества считается подтверждением утверждения, что классическая математика в принципе может описать любые природные явления. То есть здесь математики уже отказываются от подхода Гильберта и считают, что математика – это не просто абстрактная наука в духе подхода Гильберта, а наука, которая описывает природу. И, как я уже писал, философия многих физиков еще более дубоголовая. Хотя существующая квантовая физика основана на классической математике, они считают, что даже общепринятая строгость в этой математике необязательна, а главное, чтобы теория описывала эксперимент.

Я спрашивал у физиков и математиков, что раз в природе нет бесконечно малых, то тогда выходит, что производная – нестрогое понятие. Некоторые математики отвечают, что рано или поздно электрон разделят и докажут, что бесконечно малые существуют. Физики обычно согласны, что бесконечно малых в природе нет. Они говорят, что dx/dt надо понимать как Δx/Δt где Δx и Δt – малые, но не бесконечно малые. Я им говорю: но ведь ты используешь математику с dx/dt, а не с Δx/Δt. А они говорят, что раз математика с производными хорошо работает, то незачем философствовать и придумывать что-то другое (а другой математики они не знают).

История физики показывает, что рано или поздно аргумент, что если что-то хорошо работает, то нечего философствовать, оказывается неправильным. Например, нерелятивистская механика хорошо работает в 99.9…% случаев. Но теперь мы знаем, что это потому что в этих случаях скорости намного меньше скорости света. А в случаях когда скорости сравнимы со скоростью света, нерелятивистская механика не работает. И раз в природе нет бесконечно малых, то рано или поздно проявятся случаи когда классическая математика не работает. Ниже я обсуждаю такие случаи.

Из того факта, что природа состоит из атомов, следует, что стандартные геометрические понятия (например, непрерывные кривые и поверхности) могут работать только в приближении когда размерами атомов пренебрегается. Например, если мы нарисуем на бумаге якобы непрерывную кривую и посмотрим на нее в микроскоп, то увидим, что кривая сильно разрывная так как состоит из атомов.

Исторически сложилось так, что основатели квантовой теории и физики, внесшие большой вклад в эту теорию, хотя и были высококвалифицированными учеными, но их мышление было основано на классической математике, а, скажем, дискретная и конечная математика не входили (и до сих пор не входят) в программу стандартного физического образования.

Если бы классическая математика правильно описывала все эксперименты, то, наверное, можно было примириться с тем что есть теоремы Гёделя и надеяться, что рано или поздно их можно будет обойти и выполнить программу Гильберта. Но развитие квантовой теории показало, что в рамках классической математики возникают большие проблемы в построении того что называют ultimate quantum theory. Главная проблема – что в теории возникают бесконечные выражения. В перенормируемых теориях (например, в квантовой электродинамике, квантовой хромодинамике и электрослабой теории) бесконечности можно устранить, умножая одну сингулярность на другую. Но, например, квантовая гравитация, основанная на квантовой теории поля является неперенормируемой теорией и в ней бесконечности устранить нельзя.