Где
(2.21.)
Ковариация между i-й и j-й порядковыми статистиками (I < j) вычисляется по формуле:
(2.22.)
Где
Нормированный коэффициент корреляции:
(2.23.)
Очевидно, что эти формулы очень сложны и малопригодны для аналитического исследования. Что касается распределения наибольшего значения Хn , то событие
Xn ≤ X эквивалентно пересечению событий
Следовательно,
(2.24.)
Тогда, (2.25.)
(2.26.)
Последнее выражение позволяет оценить Xmax если есть информация о распределении генеральной совокупности. Для нормальной или логнормальной функции распределения, оценки математических ожиданий i – х порядковых статистик могут быть выполнены только численным интегрированием на ЭВМ.
Если известны распределение и плотность генеральной совокупности F(X) и f(X), то можно находить любой контрольный уровень (Xmax) с любой вероятностью его не превышения (превышения) из уравнения:
(2.27.)
Например, для стандартного нормального распределения :
(2.28.)
Из последнего выражения видно, что оценки вида Xmax=μ+3σ является хорошей оценкой экстремального значения по выборке. Аналогичные оценки можно получить и для логнормального распределения. Какую же величину вероятности следует задавать для оценки экстремального значения? Однозначных рекомендаций нет. Используют уровень 2σ, то есть 95% и 3σ, то есть 99,7%. Задают и более жесткие границы, например, для частоты экстремального значения в работе [35] рекомендуется уровень 0,01%.
Конечно, одни нормы более «мягкие», другие более «жесткие», но на практике можно было бы ограничиться любыми уровнями, обеспечивающими вероятность не превышения 95%, главным является понимание того, что любая граница допуска может быть задана с определенной вероятностью ее не превышения. В данной работе предполагается детально исследовать этот вопрос и выдать конкретные рекомендации для практического использования.
Существует еще один аспект проблемы оценки санитарно-гигиенической обстановки, который связан со стационарностью рассматриваемых случайных функций (случайных процессов).
Этот вопрос имеет принципиальное значение, прежде всего для возможности применения эргодической гипотезы (общей эргодической теоремы – предельной теоремы для среднего значения случайных функций) [42]. В общем случае математическое ожидание и дисперсия случайной функции сами являются функциями времени. Если эти функции представляют собой долгопериодные регулярные колебания (как в случае метеорологических рядов), то они могут быть выявлены методами гармонического анализа и использованы для прогноза. В случае же нерегулярных колебаний, как возможность диагностики, так и прогноза становится проблематичной.
Задача существенно упрощается для стационарных случайных процессов. Для таких процессов:
(2.29.)
для любых 0≤ ti ≤ T .
Среднее по времени для каждой реализации определяется как:
(2.30.)
Если для любого k MXk=const, то процесс X(t) называется эргодическим, при этом его корреляционная функция зависит только от времени. Именно свойство эргодичности стационарных случайных процессов позволяет выполнить все необходимые оценки на основании данных одной реализации [ 8 ].
Какие же характеристики случайной функции X(t) могут быть получены при измерении концентрации ЗВ в источнике выбросов (эмиссий) или на стационарном посту наблюдения в приземном слое атмосферы? Например, в течение каждого часа отбирается проба для оценки максимально разовой концентрации ЗВ в течение суток Т, то есть 0 ≤ tj
Конец ознакомительного фрагмента.
Текст предоставлен ООО «ЛитРес».
Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.
Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.
