В действительности, коды Рида—Соломона определяются как многочлены на конечных полях. Для m-битовых символов длина кодового слова составляет 2m - 1 символов. Очень часто выбирают значение m = 8, то есть одному символу соответствует один байт. Тогда длина кодового слова — 255 байт. Широко используется код (255,233), он добавляет 32 дополнительных символа к 233 символам данных. Декодирование с исправлением ошибок выполняется при помощи алгоритма, разработанного Берлекэмпом и Мэсси, который эффективно осуществляет подгонку для кодов средней длины (Massey, 1969).
Коды Рида—Соломона широко применяются на практике благодаря хорошим возможностям по исправлению ошибок, особенно последовательных. Они используются в сетях DSL, в кабельных и спутниковых сетях, а также для исправления ошибок на компакт-дисках, дисках DVD и Blu-ray. Поскольку работа идет на базе m-битных символов, однобитные ошибки и m-битные последовательные ошибки обрабатываются одинаково — как одна символьная ошибка. При добавлении 2t избыточных символов код Рида—Соломона способен исправить до t ошибок в любом из переданных символов. Это означает, например, что код (255,233) с 32 избыточными символами исправляет до 16 символьных ошибок. Так как символы могут быть последовательными, а размер их обычно составляет 8 бит, то возможно исправление последовательных ошибок в 128 битах. Ситуация выглядит еще лучше, если модель ошибок связана с удалением данных (например, царапина на компакт-диске, уничтожившая несколько символов). В таком случае возможно исправление до 2t ошибок.
Коды Рида—Соломона часто используют в сочетании с другими кодами, например сверточными. И вот почему. Сверточные коды эффективно обрабатывают изолированные однобитные ошибки, но с последовательностью ошибок они, скорее всего, не справятся, особенно если ошибок в полученном потоке бит слишком много. Добавив внутрь сверточного кода код Рида—Соломона, вы сможете очистить поток бит от последовательностей ошибок. Таким образом, получившийся составной код обеспечит надежную защиту как от одиночных, так и от массовых ошибок.
Наконец, взглянем на код LDPC (Low-Density Parity Check, код с малой плотностью проверок на четность). Коды LDPC — это линейные блочные коды, изобретенные Робертом Галлагером и описанные в его докторской диссертации (Gallagher, 1962). Как и о большинстве других диссертаций, об этой вскоре позабыли. Однако в 1995 году, когда вычислительные мощности сделали огромный скачок вперед, представленный в ней код изобрели заново.
В коде LDPC каждый выходной бит формируется из некоторого подмножества входных бит. Это приводит нас к матричному представлению кода с низкой плотностью единиц — отсюда и название. Полученные кодовые слова декодируются алгоритмом аппроксимации, который последовательно улучшает наилучшее приближение, составленное из полученных данных, пока не получает допустимое кодовое слово. Так осуществляется устранение ошибок.
Коды LDPC удобно применять для блоков большого размера. Они превосходно справляются с ошибками — лучше, чем на практике удается многим другим кодам (включая те, с которыми мы уже познакомились). По этой причине коды LDPC быстро добавляются в новые протоколы. Они являются частью стандарта цифрового телевидения, сетей Ethernet 10 Гбит/с, сетей, работающих по линиям электропитания, а также последней версии 802.11. Очевидно, что эти коды обязательно будут использоваться и в новых сетях, пока что находящихся на стадии разработки.
3.2.2. Коды с обнаружением ошибок
Коды с исправлением ошибок широко применяются в беспроводных системах связи, которые славятся зашумленностью среды передачи и, следовательно, большим количеством ошибок по сравнению с системами на основе оптоволоконного кабеля. Передать что-либо, не используя исправление ошибок, было бы практически невозможно. Однако в системах, где информация передается по оптоволокну или высококачественному медному проводу, уровень ошибок гораздо ниже, поэтому обнаружение ошибок и повторная передача являются более подходящим методом.
Мы рассмотрим три кода с обнаружением ошибок. Все они относятся к линейным систематическим блочным кодам:
1. Код с проверкой на четность.
2. Код с контрольными суммами.
3. Циклический избыточный код.
Для того чтобы понять, в каких ситуациях обнаружение ошибок может быть эффективнее исправления, возьмем первый из перечисленных кодов. К отправляемым данным присоединяется единственный бит четности (parity bit), который выбирается так, чтобы число единичных битов в кодовом слове было четным (или нечетным). Это эквивалентно вычислению бита четности в виде суммы по модулю 2 для битов данных (или применению операции исключающего ИЛИ). Например, если отправляется кодовое слово 1011010 и число единиц должно быть четным, то в конце добавляется ноль, и последовательность превращается в 10110100. Если же число единиц должно быть нечетным, то последовательность устанавливается такая: 10110101. Кодовое расстояние кода с единственным битом четности равно двум, так как любая однобитная ошибка меняет четность кодового слова на неправильную. Это означает, что данный код позволяет распознавать однобитные ошибки.
Рассмотрим канал с изолированными ошибками, возникающими с вероятностью 10-6 на бит. Такое значение может показаться очень небольшим, но для длинного кабельного канала, в котором распознавать ошибки довольно сложно, оно в лучшем случае считается допустимым. Типичные локальные сети характеризуются вероятностью ошибки 10-10. Пусть блок данных состоит из 1000 бит. Для создания кода, исправляющего однократные ошибки в 1000-битном блоке, как видно из представленного выше уравнения (3.1), потребуется 10 контрольных бит. Для 1 Мбит данных это составит 10 000 проверочных бит. Чтобы просто обнаруживать одиночную 1-битовую ошибку, достаточно одного бита четности на блок. На каждые 1000 блоков будет выявляться одна ошибка, и придется переслать повторно еще один блок (1001 бит), чтобы исправить ее. Таким образом, суммарные накладные расходы на обнаружение ошибки и повторную передачу составят всего 2001 бит на 1 Мбит данных против 10 000 бит, необходимых для кода Хэмминга.
Проблема данной схемы заключается в том, что если к блоку добавлять всего один бит четности, то гарантированно распознаваться будет только одна однобитная ошибка в блоке. В случае возникновения последовательности ошибок вероятность обнаружения ошибки будет всего лишь 0,5, что абсолютно неприемлемо. Этот недостаток может быть исправлен, если рассматривать каждый посылаемый блок как прямоугольную матрицу n бит шириной и k бит высотой (принцип ее построения был описан выше). Если вычислить и отправить один бит четности для каждой строки, то гарантированно обнаружить можно будет до k однобитных ошибок, при условии, что в каждой строке будет не большое одной ошибки.
Однако можно сделать кое-что еще, чтобы повысить уровень защиты от последовательностей ошибок — биты четности можно вычислять в порядке, отличном от того, в котором данные отправляются. Этот способ называется чередованием (interleaving). В нашем примере мы будет вычислять бит четности для каждого из n столбцов, но биты данных отправляться будут в виде k строк, в обычном порядке: сверху вниз и слева направо. В последней строке отправим n бит четности. На рис. 3.8 порядок пересылки показан для n = 7 и k = 7.
Рис. 3.8. Чередование битов четности для обнаружения последовательностей ошибок
Чередование представляет собой общую технику преобразования кода, способного обнаруживать (или исправлять) изолированные ошибки, в код, обнаруживающий (или исправляющий) последовательности ошибок. На рис. 3.8, там, где присутствует последовательность ошибок длиной n = 7, мы видим, что ошибочные биты находятся в разных столбцах (последовательность ошибок не означает, что все биты в ней неправильные; это всего лишь подразумевает, что, по меньшей мере, первый и последний биты сбойные. На рис. 3.8 из семи сбойных бит на самом деле изменено значение только четырех). В каждом из n столбцов повреждено будет не больше одного бита, поэтому биты четности этих столбцов помогут выявить ошибку. В данном методе n бит четности в блоках из kn битов данных применяются для обнаружения одной последовательности ошибок длиной n бит или меньше.
