Но греки всё же нашли способ справиться с иррациональностью – благодаря тому, что любое иррациональное число можно аппроксимировать рациональным. Чем точнее приближение, тем сложнее рациональное число, и всегда остается некоторая погрешность. Делая ее всё меньше, мы получаем возможность изучать свойства иррациональных чисел, исследуя аналогичные свойства ближайших к ним рациональных. Проблема в том, чтобы поставить эту идею на те рельсы, которые были бы совместимы с подходом греков к геометрии и доказательствам. Это оказалось выполнимой, но сложной задачей.

Греческая теория иррациональных чисел была сформулирована Евдоксом примерно в 370 г. до н. э. Он стремился представить любую величину, рациональную или иррациональную, в виде соотношения двух отрезков – иными словами, парными отрезками. Таким образом, дробь ²/₃ можно представить как два отрезка, один длиной в две единицы и другой в три (соотношение 2:3). √2 можно представить парой, составленной диагональю единичного квадрата и его стороной (и это будет соотношение √2:1). Обратите внимание: здесь оба отрезка могут быть построены геометрически.

Здесь главный секрет – определить, когда эти два соотношения будут равны. Когда a: b = c: d? Греки не имели такой системы счисления, которая позволила бы им сделать это простым делением длины одного отрезка на длину другого, и вынуждены были сравнивать a: b с c: d. А Евдокс предложил громоздкий, но точный способ сравнения, укладывающийся в условности греческой геометрии. Идея была в том, чтобы сравнивать целочисленные произведения ma и nc. Этого можно было достичь, соединяя m копий а непрерывной цепью и точно так же n копий b, а затем использовать те же множители m и n для сравнения mb и nd. Евдокс рассуждал: если соотношения a: b и c: d не равны, мы можем подобрать m и n так, чтобы увеличить разницу до такой степени, что ma > nc, но mb < nd. Действительно, так мы можем установить равенство соотношений.

Равны ли соотношения a: b и c: d?

Такое определение требует специальных навыков, зато прекрасно вписывается в ограниченные возможности греческой геометрии. Так или иначе, оно работает; более того, оно позволило греческим геометрам взять теоремы, легко доказуемые с помощью рациональных отношений, чтобы расширить их действие до иррациональных.

Часто они использовали так называемый метод исчерпывания (или, иначе, истощения), в котором некоторые видят предка современного метода пределов и интегрального исчисления. Этим методом они доказали, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса. Доказательство основывалось на простом факте, открытом Евклидом: площади двух подобных многоугольников соотносятся в той же пропорции, что и квадраты их соответствующих сторон. Круг представлял проблему: он не был многоугольником. Тогда греки построили две последовательности многоугольников: одну помещавшуюся внутри круга, а вторую – снаружи. Каждый следующий многоугольник всё ближе подходит к кругу, и из метода исчерпывания, доведенного до совершенства Евдоксом, следует, что площади самых близких к кругу многоугольников стремятся к его площади и в итоге совпадут с ней.

Самым известным греческим геометром, хотя, возможно, и не самым талантливым математиком, считается Евклид Александрийский. Он внес огромный вклад в историю науки, собрав труды предшественников и сведя их воедино, и его «Начала» – шедевр всех времен и народов. Евклид создал не меньше десяти трудов по математике, из которых до нас дошло только пять, и те в поздних копиях, в виде фрагментов. До наших дней не дожил ни один подлинный документ из Древней Греции. Пять имеющихся текстов Евклида называются «Начала», «О делении», «Данные», «Явления» и «Оптика».

«Начала» считаются основным трудом Евклида, который окончательно утвердил разделение геометрии на двумерную (планиметрию) и трехмерную (стереометрию). «О делении» и «Данные» содержат разные дополнения и комментарии в части геометрии. «Явления» посвящены астрономии, сферической геометрии и исследованию геометрических фигур на поверхности сферы. «Оптика» также относится к этой области и может считаться первой попыткой исследования геометрии перспективы – способности человеческого глаза преобразовать трехмерное изображение в двумерную картинку.

Пожалуй, лучшим трудом Евклида можно считать исследование логики пространственных отношений. Если форма имеет определенные свойства, логично, что они определяют и другие ее характеристики. Например, если у треугольника равны все три стороны, т. е. он равносторонний, то должны быть равны и все три его угла. Такой вид утверждений, когда делается допущение, а потом приводится его логическое следствие, называется теоремой. Здесь это теорема о свойствах равностороннего треугольника. Менее интуитивно понятна, зато более известна теорема Пифагора.

«Начала» состоят из 13 книг, выстроенных в логической последовательности. В них обсуждаются геометрия плоскости (планиметрия) и некоторые аспекты геометрии пространства (стереометрии). Важный момент – доказательство существования пяти геометрически правильных многогранников: тетраэдра, гексаэдра (попросту куба), октаэдра, додекаэдра и икосаэдра. Основные фигуры планиметрии – линия и круг, часто встречающиеся в разных сочетаниях: например, треугольник – сочетание трех прямых линий. В стереометрии мы имеем дело с плоскостями, цилиндрами и сферами.

Теорема Пифагора: если треугольник прямоугольный, площадь большого квадрата А равна сумме площадей двух других, В и С

Для современных математиков представляет интерес не столько содержание трудов Евклида, сколько их логическая структура. В отличие от предшественников, он не просто принимает известную теорему как истину. Он ее доказывает.

Что значит доказать теорему? Рассказать своего рода математическую историю, где каждый следующий шаг – логическое следствие предыдущих. Каждое очередное утверждение должно быть подкреплено отсылкой к предыдущим и быть выводом из них. Евклид понимал, что этот процесс не может идти вглубь до бесконечности: он должен с чего-то начинаться, и начальное утверждение не требует доказательств: иначе пришлось бы начинать действия с чего-то еще.

Чтобы запустить процесс, Евклид составил несколько основных определений: четких, ясных утверждений для таких основных «технических» понятий, как линия или круг, по сути очевидных. Типичный пример такого определения: тупым называется угол больше прямого.

Эти определения предоставили терминологию, необходимую для формулировки не требующих доказательств утверждений, которые Евклид разделил на два вида: общие утверждения и постулаты. Типичное общее утверждение: объекты, равные одному и тому же, равны и между собой. А типичный постулат: все прямые углы равны между собой.

Мы уже объединили оба эти типа утверждений в один и называем их аксиомами. Математические аксиомы – исходные утверждения, не требующие доказательств. Мы считаем, что аксиомы – как правила игры, и верим, что они всегда выполняются. Мы уже не задаемся вопросом, верны ли эти правила, – мы уже не думаем, что эта игра единственная в своем роде. Всякий, кто собирается участвовать в какой-то конкретной игре, должен соблюдать ее правила; иначе он волен выбрать другую, но в ней правила первой не будут работать.