После этих определений мы можем перейти к доказательству теоремы о том, что сумма двух нечетных целых чисел – четное число[11].

Доказательство. Пусть X и Y – нечетные целые числа. Это означает, что X = 2a + 1 и Y = 2b + 1, где a и b – целые числа. Сумма X и Y может быть представлена следующим образом:

Итак, X + Y представляет собой удвоенное целое число. Таким образом, X + Y – четное число.

Доказывать теоремы непросто, но это гораздо увлекательнее, чем читать чужие доказательства, потому попробуйте доказать следующее: результат перемножения двух нечетных целых чисел – тоже нечетное число. Попытайтесь справиться с задачей самостоятельно, а потом сверьтесь с доказательством в конце раздела[12].

Другие математические теоремы гораздо интереснее, а их доказательства гораздо сложнее, но цель у них все та же: обосновать математический факт со стопроцентной уверенностью.

Итак:

Интересные теоремы красивы. Надеюсь, этот «Путеводитель» поможет вам видеть математическую красоту и наслаждаться ею.

Какие три слова жаждут услышать математики?

Конечно, нам греет душу фраза: «Я люблю тебя», но в данном случае речь идет о других заветных словах: «Quod erat demonstrandum». В переводе с латинского они означают: «Что и требовалось доказать» – и обычно завершают математическое доказательство. Впрочем, немногие пишут эту фразу целиком, большинство ученых ограничиваются аббревиатурой QED. К сожалению, и она уже вышла из моды, и сейчас в конце доказательства принято использовать символ, например небольшой квадрат: □.

Физик Ричард Фейнман[13] верил: если человечество столкнется с опасностью потери всего научного знания, но у него будет возможность передать потомкам всего одну фразу о науке, эта фраза должна описывать, как атомы образуют материю[14]. Продолжим фантазировать в том же духе. Если бы мы могли передать следующему поколению всего одну математическую идею, это, как мне кажется, должен быть ответ на вопрос: как много существует простых чисел?

Математическая мысль начинается со счета. Мы используем для счета натуральные числа: 1, 2, 3 и т. д. Отсутствие объектов для счета – и необходимость подобрать число для этого отсутствия – приводит нас к понятию нуля. Когда мы складываем или умножаем натуральные числа, результат всегда представляет собой другое натуральное число. Но вычитание внушает беспокойство. Все хорошо, когда мы вычитаем три из пяти: 5 – 3, но если мы поступим наоборот, то получится 3 – 5, и результат не будет натуральным числом. Мы восполняем этот недостаток, вводя отрицательные числа: –1, –2, –3 и т. д.

Множество всех натуральных и полученных при их вычитании отрицательных чисел вместе с нулем называют целыми числами. Математики используют стилизованную букву Z, чтобы обозначить все целые числа:

Когда мы делим целые числа друг на друга, возникает загвоздка. В то время как мы можем складывать, перемножать целые числа и вычитать их друг из друга в полной уверенности, что получим целое число, результат деления одного целого числа на другое иногда оказывается целым числом, а иногда и нет.

Возьмем два положительных целых числа а и b. Мы говорим, что а делится на b, если частное a / b – тоже целое число. Мы называем a – делимым, b – делителем.

Например, 24 делится на 6 (потому что частное от деления – целое число), но не на 7 (потому что частное не является целым числом). Всякое положительное целое число делится само на себя: если а – положительное целое число, то частное от а / а равно 1, и это, разумеется, целое число. Также всякое положительное целое число делится на 1, потому что, если а – положительное целое число, результат деления а / 1 равен а.

Положительное целое число называется простым, если у него есть ровно два делителя: 1 и оно само.

Например, 17 – простое число, потому что 1 и 17 – его единственные делители. По той же причине 2 – простое число.

С другой стороны, 18 не является простым числом, потому что помимо 1 и самого себя оно делится на 2, 3, 6 и 9. Такие числа, как 18, называют составными. Если говорить математическим языком, то положительное целое число называют составным, если у него есть другие делители помимо 1 и самого себя.

Размежевание чисел на простые и составные касается всех натуральных чисел, кроме 1. Мы выделяем 1 в отдельную категорию и называем единичным элементом, или единицей[15]. Кого-то расстраивает тот факт, что Плутон больше не причисляют к планетам, другие раздражены тем, что 1 не считается простым числом.

Если подытожить, у нас есть три категории положительных целых чисел:

• единица с одним положительным делителем;

• простое число с двумя положительными делителями;

• составное число с тремя и более положительными делителями.

Отмечу, что 1 – единственное в своем роде число, а вот составных чисел бесконечно много: 4, 6, 8, 10, 12 и т. д. – составные числа (и таких еще много).

Но сколько же простых чисел существует?

Разложить число на множители означает представить его в виде произведения. Рассмотрим число 84. Мы можем разложить его на множители несколькими способами, например:

В пределе разложить на множители означает найти произведение простых чисел, например: 84 = 2 × 2 × 3 × 7. Нельзя разбить эти множители на части, потому что каждый из них представляет собой простое число. Разумеется, мы можем добавить какое-то количество единиц, например:

но дополнительные множители усложняют, а не упрощают выражение, другие множители от этого не становятся меньше[16].

Возьмем другой пример: 120. Мы можем представить 120 как 12 × 10 и затем 12 как 2 × 2 × 3, а 10 – как 2 × 5. Это дает:

С другой стороны, мы можем начать так: 120 = 4 × 30 и далее заметить, что 4 = 2 × 2, а 30 = 2 × 3 × 5. Вместе это дает:

Важно отметить, что простые числа в выражениях (A) и (B) одинаковые, различается лишь порядок, в котором они перемножаются. Это показано на рисунке.

Любой способ представления числа 120 в качестве произведения простых чисел дает один и тот же результат.

Эта единственность разложения на множители зафиксирована в следующей теореме[17].