Цифры, использовавшиеся для записи чисел в древних культурах, не предназначались для представления чисел, превышающих пару тысяч. Лишь в довольно редких случаях люди изобретали символы для по-настоящему больших чисел, но считали их настолько громадными, что лишь дивились им, не предпринимая попыток разумно ими оперировать. Такие величины считали просто числами, поражающими воображение и превосходящими всякие человеческие представления. Полагали, что операции с такими числами доступны только божествам.
Сегодня эти древние цифры известны лишь специалистам по истории древних восточных культур и по истории Античности. Лишь очень немногие знают, что древние греки для представления чисел пользовались буквами своего алфавита. Первая буква А, альфа, соответствовала единице, вторая буква В, бета, двойке, третья буква Г, гамма, тройке, и так далее до буквы I, йота, которая соответствовала числу 10. Затем греки считали десятки, используя следующие буквы – К, каппу, Λ, лямбду, М, мю, – которые соответствовали 20, 30, 40. Сочетание ΛВ обозначало число 32, а записывая КГ, имели в виду 23. Оставшиеся буквы алфавита обозначали сотни: Р, ро, служила символом 100, Σ, сигма, обозначала 200, Т, тау, – 300, и так далее. Имея в алфавите 24 буквы и еще три дополнительных знака (буквы еще более древнего греческого алфавита), древние греки могли записывать все числа, необходимые им в повседневной жизни.
Всем известно, как записывали числа древние римляне. Мы и сегодня, например гуляя с детьми по городу, показываем им написанные римскими цифрами на памятниках даты и расшифровываем их. Римские цифры тоже имеют своим источником буквы – естественно, латинского алфавита. Правда, язык древнеримских чисел более понятен и логичен, чем язык чисел греческих. I – это не просто буква, это одна черта, обозначающая единицу. Согласно такой символике следующие числа – 2, 3 и 4 – обозначались таким образом: II, III и IIII. V – это тоже не просто буква, которая, между прочим, в Древнем Риме обозначала, кроме того, и звук U, а символ, обозначающий кисть руки с пятью пальцами. Из двух таких «кистей», одной перевернутой и второй – направленной вверх, то есть из двух букв V, составили символ числа 10 – X.
В Средние века на наших европейских просторах все числа всегда записывали римскими цифрами. Если один горожанин занимал у другого некую сумму денег, то заимодавец вырезал на дощечке число одолженных гульденов. Такую дощечку называли биркой. Бывало, что заимодавец обманывал должника, меняя запись на бирке. Например, должник клялся, что занимал всего пять гульденов, а заимодавец показывал судье бирку, на которой красовался X. На деле он просто продолжал линии цифры V вниз, в результате получалось новое, большее, число. В некоторых местностях Германии до сих пор бытует поговорка – «выдать U за X».
Римское обозначение сотни – C, это первая буква латинского слова centum, обозначающего «сто». Если же отделить верхнюю часть буквы С и оставить только ее нижнюю часть, то есть нижнюю половину, то получится знак, напоминающий латинскую букву L, которой стали обозначать половину ста – пятьдесят. Римская цифра M обозначает тысячу, ибо M – это первая буква латинского слова mille – «тысяча». Однако в ранний период римской истории римляне обозначали звук «м» греческой буквой Ф (фи). Для записи этой буквы римляне ставили букву C, непосредственно за ней I, а затем зеркальное отражение C, то есть Ͻ. Если объединить все эти символы, то получится СIϽ, то есть стилизованное М. Если разрубить этот символ пополам вертикальной чертой, то получится символ IϽ, напоминающий букву D. Поэтому число пятьсот римляне обозначали буквой D.
Впрочем, эти римские цифры общеизвестны. Но как римляне считали числа, большие 4999, которое записывалось весьма замысловато, а именно: MMMMDCCCCLXXXXVIIII? (Более короткая, упрощенная запись этого числа, в которой вместо IIII записывали IV, вместо VIIII–IX, вместо XXXX–XL, вместо LXXXX–XC, вместо CCCC–CD, вместо DCCCC–CM, а все число 4999 выглядело как MMMMCMXCIX – тоже достаточно громоздко, – прижилась позднее.) Каким образом мог римский министр финансов записывать суммы в десятки и сотни тысяч сестерциев?
Одно из решений заключалось в многократном написании цифры C в том виде, в каком она применялась для обозначения 500 и 1000: число 500 обозначали символом IϽ, а символами IϽϽ и IϽϽϽ – пять тысяч и пятьдесят тысяч соответственно. Если число 1000 обозначается символом CIϽ, то 10 000 и 100 000 – символами CCIϽϽ и CCCIϽϽϽ соответственно.
Несмотря на все эти хитрости, писать большие числа римскими цифрами было сложно и утомительно. Еще труднее было производить вычисления и оперировать такими числами. Худо-бедно можно было справиться со сложением и вычитанием, так как римляне располагали счетным устройством – абаком (счетной доской), – которое неплохо подходило для действий с числами, представленными римскими цифрами. Умножение же чисел, записанных римскими цифрами, – задача отнюдь не из легких. Как, например, узнать, каков результат умножения LVII, то есть 57, на LXXV, то есть на 75?{2} Деление же было в таких ситуациях настоящим искусством. Методам деления чисел, записанных римскими цифрами, обучали в лучших университетах средневековой Европы.
Даже представители высших сословий, которые в Средние века учились читать и писать, в большинстве своем умели только складывать и вычитать. Умножение и деление было им недоступно. В те времена, однако, существовала гильдия избранных ученых, так называемых «коссистов», занимавших в городах штатные должности вычислителей. За определенную плату они делали расчеты для городских властей, ремесленников и купцов. Чаще всего речь шла об умножении и делении. «Che cosa? – спрашивала в те времена, допустим, Филиппина Вельзер своего вычислителя. – Каков результат?» Она называла вычислителей коссистами (от слова cosa) и щедро вознаграждала их за «косу», то есть за «результат».
Просвещение началось с математики
Около 1550 г. один из самых талантливых вычислителей, живших к северу от Альп, уроженец Штаффельштайна близ Бамберга по имени Адам Ризе, изрядно попортил доходный бизнес своих коллег по цеху. Дело в том, что Ризе опубликовал книгу – написанную по-немецки, чтобы ее могли прочитать все горожанки и горожане, – в которой он описал способы вычислений, включая умножение и деление.
В первой главе, озаглавленной Numerirn («Числа»), Адам Ризе объясняет, что для расчетов следует использовать не громоздкую запись чисел римскими цифрами, а более простую и удобную запись. Ризе с великим тщанием объясняет читателям суть арабских цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, обозначающих первые девять натуральных чисел. Далее Ризе поясняет, что для записи больших чисел необходима еще и десятая цифра – ноль, и посвящает своих читательниц и читателей в тайну десятичной системы счисления: значение каждой цифры в записи числа зависит от позиции цифры. Например, в числе 4205 пять стоит в позиции единиц, ноль – в позиции десятков, 2 – в позиции сотен, а 4 – в позиции тысяч. На этом же примере Ризе объясняет, как велика в записи роль нуля, ибо 4205 – это совсем иное число, нежели 425, или 4250, или, допустим, 42050.
В следующих главах, озаглавленных Addiren («Сложение»), Subtrahirn («Вычитание»), Multiplicirn («Умножение») и Dividirn («Деление»), автор объясняет, как выполнять арифметические действия с числами, записанными арабскими цифрами. Методы, предложенные Адамом Ризе, в точности совпадают с теми, которым и сегодня учат в школах наших детей. Мало того, Ризе не просто дает своим читателям общее представление о методах счета, он учит выполнять арифметические действия на великом множестве примеров, чтобы люди смогли в совершенстве овладеть этими методами.
Заключительная глава называлась Regula Detri («Тройное (золотое) правило»). В последней главе Ризе объясняет «это тройное правило» (Dreisatz), или, как его называют в Австрии и Южной Германии, «правило окончательного расчета» (Schlussrechnung). Это правило является фундаментом всех важных в хозяйстве и торговле вычислений и расчетов.
