Нескольких размышлений о правилах арифметики и алгебры достаточно, чтобы вполне понять, что эти две науки вместе составляют настоящую логику, служащую для нахождения истины и чтобы дать разуму всю ту обширность, которая доступна ему.

Мы только что сказали, что все истины суть лишь отношения, что самое простое и самое известное изо всех отношений это — отношение равенства; оно служит началом для измерения других, чтобы получилась идея неравенства; мерило, которым мы должны пользоваться, есть единица, и ее следует прибавлять или отнимать столько раз, сколько необходимо, чтобы измерить разность в неравенстве этих величин.

Ясно, что все действия, служащие к нахождению отношений равенства, будут лишь сложениями и вычитаниями, сложениями величин, чтобы уравнять их; сложениями отношений, чтобы уравнять

490

отношения или привести величины к пропорциональности; наконец, сложениями отношений, чтобы уравнять отношения отношений или привести величины к сложной пропорциональности.

Чтобы уравнять 4 с 2, надо лишь прибавить 2 к 2 или отнять 2 от 4, или, наконец, прибавить единицу к 2 и отнять ее от 4. Это

ясно.

Для уравнения отношения или пропорции 8 к 2 с отношением

6 к 3 не следует прибавлять 3 к 2 или отнимать 3 от 8, чтобы разность этих обоих чисел равнялась 3, которое составляет разность 6 и 3: это значило бы прибавлять и уравнивать простые величины, разность 8 и 5 с разностью 6 и 3. Надо найти прежде величину отношения 8 к 2, что составит 8/2; разделив 8 на 2, мы найдем, что показатель этого отношения будет 4 или что 8/2 равно 4. Затем надо посмотреть, какова величина отношения 6 к 3, и мы найдем, что она равна 2. Итак, мы узнаем, что эти два отношения: 8/2, равное 4, и 6/3, равное 2, разнятся на 2. Чтобы уравнять их, можно или прибавить к 6/3 еще 6/3, равное 2, ибо у нас получится 12/3, что составит отношение, равное 8/2, или отнять 4/2, равное 2, от 8/2, ибо мы получим 4/2, представляющее собою отношение, равное 6/3; или же, наконец, мы можем прибавить единицу к 6/3 или отнять ее от 8/2, ибо мы получим 9/3 и 6/2, что составит равные отношения,

ибо 9 относится к 3, как 6 относится к 2.

Чтобы найти величину неравенства между отношениями, представляющими: одно — результат сложной пропорции или отношения отношений 12 к 3 и 3 к 1, другое — результат сложной пропорции или отношения отношений 8 к 2 и 2 к 1, должно поступить таким же образом. Во-первых, величина пропорции 12 к 3 выражается 4, или 4 будет показателем пропорции 12 к 3, а 3 будет показателем пропорции 3 к 1, показатель же пропорции показателей 4 и 3 будет 4/3. Во-вторых, показателем пропорции 8 к 2 будет 4, и 2 к 1 будет 2, показатель же показателей 4 и 2 будет 2. Наконец, неравенство между отношениями, представляющими результат отношений отношений, будет разность между 4/3 и 2, т. е, 1/3. Итак, прибавив 1/3 к отношению пропорций 12 к 3 и 3 к 1 или отняв 1/3 от отношения других пропорций 8 к 2 и 2 к 1, мы приведем к равенству эти отношения отношений и получим сложную пропорцию. Таким образом, можно пользоваться сложением и вычитанием для уравнения величин и их отношений, как простых, так и сложных, и для получения точной идеи о величине их неравенства.

Правда, мы пользуемся умножениями и делениями, как простыми, так и сложными, но умножение и деление лишь сложные сложения и вычитания. Умножить 4 на 3 значит взять 4 слагаемым столько раз, сколько раз единица будет слагаемым в 3, или найти такое число, которое имеет такое же отношение к 4, какое 3 имеет кГ единице. Разделить 12 на 4 значит отнимать 4 от 12 столько раз,|к сколько это возможно, т. е. найти такое отношение к единице»яИ которое равнялось бы отношению 12 к 4; ибо 3, которое буд^

491

показателем его, имеет такое же отношение к единице, какое 12 имеет к 4. Извлечения квадратных и кубических корней и т. п. суть лишь деления, посредством которых мы ищем одну, две или три средние пропорциональные.

Очевидно, что разум человеческий так ограничен, память его так неверна, воображение так узко, что без применения цифр и письма и без искусства арифметического было бы невозможно производить необходимые действия для отыскания неравенства величин и их отношений. Если дано несколько чисел, которые нужно прибавлять или отнимать, или, что то же самое, если эти числа велики и их можно прибавлять лишь по частям, — мы всегда забывали бы какое-нибудь число. Нет воображения такого обширного, чтобы

складывать слишком большие дроби, как-то: ——, —————; или вычитать их одну из другой. 4093 10431

Умножения, деления и извлечения корней целых чисел бесконечно труднее'простых сложений и вычитаний; разум, один, без помощи арифметики, слишком ограничен и слаб, чтобы делать их, и мне бесполезно останавливаться на доказательствах этого.

Между тем анализ или алгебра опять нечто совсем иное, чем арифметика: она гораздо меньше раздвояет способность разума, она сокращает идеи самым простым и легким способом, какой только можно себе представить. То, что в арифметике требует много времени, в алгебре делается моментально, причем разум не сбивается ни переменою цифр, ни длиною действий. Отдельное арифметическое действие открывает только одну истину; подобное же алгебраическое действие открывает их много; наконец, есть вещи, и вещи доступные познанию и необходимые, которых нельзя познать посредством одной арифметики. Я думаю, что все полезное, что люди могут знать с точностью, может без познано посредством арифметики и алгебры. Эти две науки служат основанием всех остальных и дают верные средства к приобретению всех точных знаний; ибо нельзя лучше сберегать способность ума, чем это делает арифметика, а особенно алгебра.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ О МЕТОДЕ

ГЛАВА I

О правилах, которые следует соблюдать в разысканиях истины.

Теперь, когда мы рассмотрели средства, с помощью которых можно сделать разум внимательнее и обширнее, — единственные средства сделать его совершеннее, т. е. просвещеннее и проницательнее, — пора перейти к правилам, которые необходимо соблюдать при решении всех вопросов. На этом я остановлюсь долго и постараюсь хорошенько выяснить на нескольких примерах, чтобы лучше показать необходимость этих правил и приучить разум пользоваться ими, так как хорошо применять эти правила гораздо важнее и труднее, чем знать их.

Не следует ожидать, что мы встретим здесь что-нибудь необычайное, поражающее и занимающее сильно разум; напротив, чтобы быть хорошими, эти правила должны быть просты и естественны, немногочисленны, весьма понятны и зависеть одни от других, — словом, они должны лишь руководить разумом и управлять вниманием, не раздвояя его; ибо опыт достаточно показывает, что логика Аристотеля мало применима именно потому, что слишком занимает разум и отвлекает его внимание от рассматриваемых предметов. Пусть же тот читатель, который любит все чудесное и изобретения необычайные, оставит на время свою странную склонность и рассмотрит со всем вниманием, на какое он только способен, достаточны ли предлагаемые правила для того, чтобы сохранять постоянную очевидность в перцепциях разума и чтобы найти самые сокровенные истины. Если читатель отнесется без предубеждения к этим правилам из-за простоты и легкости их, я надеюсь, применение этих правил, которое мы покажем ниже, убедит его, что принципы самые простые и самые ясные суть самые плодотворные, а вещи необычайные и трудные не всегда так полезны, как заставляет нас это думать пустое любопытство.

Принцип всех этих правил таков: чтобы открыть истину, не опасаясь ошибиться, должно всегда сохранять очевидность в своих умозаключениях. От этого принципа зависит следующее общее правило, относящееся к предмету наших исследований, именно: мы

493

должны рассуждать лишь о вещах, о которых имеем ясные идеи;