Собрание Бурбаки, 1938 год. Слева направо: С. Вейль, Ш. Пизо, А. Вейль, Ж. Дьёдонне, К. Шаботи, Ш. Эресманн и Ж. Дельсарт.
Даже логические аксиомы и аксиомы теории множеств были получены как результат анализа неформальных доказательств. Кроме того, когда обычный математик рассуждает о континууме действительных чисел, он никогда не думает о нестандартных (счетных) моделях континуума (они существуют, если работать аксиоматически в рамках ZFC, и для заядлого формалиста они столь же справедливы, как и стандартная модель). С точки зрения специалиста в области анализа или топологии, для которого континуум — это операционная реальность, существование счетных моделей означает просто бедность формального языка как средства подражания неформальным рассуждениям. Несмотря на яркость метафоры, введенной Гильбертом, математика — это не здание или храм, она больше похожа на город с его проспектами, кварталами, новостройками и опустевшими домами, огороженными под снос.
ГИБЕЛЬ БОГОВ
С приходом Гитлера к власти в 1933 году Людвиг Бибербах (присоединившийся к нацистской партии) встал во главе математики в Германии, продвигая «арийскую, или немецкую», математику (Deutsche Mathematik). Теория относительности была отвергнута как еврейское мошенничество. Та же участь постигла теорию множеств — вероятно, из-за использования в ней еврейского алфавита для обозначения трансфинитных кардинальных чисел (хотя также сыграло роль то, что Бибербах был сторонником Брауэра в Берлине). Еврейским преподавателям было запрещено вести занятия, и одного за другим их сняли с должностей.
Математический институт в Гёттингене быстро сдал позиции, и его международный престиж был утрачен, к большому огорчению Гильберта. Герман Вейль — любимый ученик, который сменил его на кафедре, — был вынужден эмигрировать, поскольку его жена была еврейкой по происхождению, и в итоге он присоединился к Альберту Эйнштейну и Курту Гёделю в Институте перспективных исследований в Принстоне. Рихард Курант был отстранен от работы и обосновался в Нью-Йоркском университете. Бернайс вернулся в Швейцарию.
Гильберт был обескуражен новой политической ситуацией в Германии. Как-то он спросил у Блюменталя, своего первого аспиранта, какой курс тот читает, и услышал в ответ, что ему больше не разрешено вести занятия. Старик был ужасно возмущен. Когда на банкете его усадили рядом с новым министром образования и тот спросил: «Как в Гёттингене с математикой теперь, когда его очистили от еврейского влияния?», Гильберт парировал: «Математика в Гёттингене? Но ведь ее уже нет!»
С началом Второй мировой войны все стало еще более мрачным. Блюменталь эмигрировал в Нидерланды, однако немцы захватили эту страну в 1940-м и его арестовали. Он умер в том же году в печально известном лагере Терезиенштадт, что на территории современной Чехии. Феликс Хаусдорф, который написал первый учебник по теории множеств, покончил жизнь самоубийством, когда узнал, что ему и его семье предстоит депортация в концентрационный лагерь. Другие, например Банах, выжили, но серьезно пострадали физически, работая «кормителями вшей» в возглавляемом немцами бактериологическом институте, где исследовался тиф.
Давид Гильберт умер в Гёттингене 14 февраля 1943 года под рев орудий. На похоронах ученого присутствовали менее дюжины человек. Но сегодня живы слова, ставшие его эпитафией: Wir müssen wissen. Wir werden wissen — «Мы должны знать. Мы будем знать».
Список рекомендуемой литературы
Almira, J.M. y Sabina dk Lis, J.C., Hilbert. Matemdtico fundamental, Madrid, Nivola, 2007.
Bell, E.T., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.
Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza, 1996.
Fresan, J., El sueno de la razon. La logica matemdtica у susparadojas, Barcelona, RBA, 2010.
Grattan-Guinness, I. (ed.), Delcdlculo a la teoria de conjuntos, Madrid, Alianza, 1984.
Gray, J.J., El reto de Hilbert, Barcelona, Critica, 2003.
Hilbert, D., Fundamentos de las Matemdticos, Mexico D.F., UNAM, 1993.
Kline, M., Matemdticos: la perdida de la certidumbre, Madrid, Siglo XXI, 1998.
Mancosu, P. (ed.), From Brouwer to Hilbert. The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s, Oxford University Press, 1998.
Mosteri'n, J., Los logicos, Madrid, Espasa-Calpe, 2000.
Odifreddi, P., La matemdtica del siglo xx, Madrid, Katz Barpal Editores, 2006.
Reid, C., Hilbert, Nueva York, Springer Verlag, 1970.
Stewart, I., Historia de las matemdticos, Barcelona, Critica, 2008.
Torretti, R., El paraiso de Cantor, Santiago de Chile, Editorial Universitaria, 1998.
Указатель
Entscheidungsproblem, или проблема разрешения 160, 161
ignorabimus 52, 53
Pnncipia mathematica 121-122, 156
Аккерман, Вильгельм 13, 111, 141, 149, 150, 152
аксиома
выбора 126, 128, 130, 131, 141, 162
параллельных прямых 28, 29, 31, 32, 36, 38, 42, 44, 162
анализ 8-11, 18, 26, 35, 44, 46, 50, 53, 56, 60, 61, 65, 69, 72, 77, 80, 81, 92-96, 101, 104, 106, 107, 112, 114, 130, 131, 137, 138, 147-149, 155, 164, 167
Банах, Стефан 98, 132, 168
Бернайс, Пауль 13, 111, 113, 128, 141, 150, 153, 158, 162, 168
бесконечность 11, 29, 93-95, 105, 107, 109, 112, 121, 124, 126-128, 134, 136, 137, 147, 151-154, 160, 161
актуальная 152
Бибербах, Людвиг 59, 167
Блюменталь, Отто 65, 67, 168
Бойяи, Янош 31-32, 85
Борн, Макс 99, 102, 103
Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян 11, 109, 131-137, 139-143, 148, 167
Бурбаки 166
вариационное исчисление 13, 60, 61, 63, 79, 72, 79-83, 88, 90, 94
Варинга гипотеза 85
Вейерштрасс, Карл 17, 67, 79, 83, 114
Вейль, Герман 64, 67, 102, 123, 138, 139-140, 142, 143, 167
Гаусс, Карл Фридрих 7, 8, 12, 18, 23, 24, 31, 32, 35, 39, 43, 65, 71, 78, 87, 134, 136
Гейзенберг, Вернер 99, 100, 102, 103, 104, 108
Гейтинг, Аренд 136, 138, 154
геометрия
евклидова 18, 28, 30-36, 40, 42-45, 89, 95, 112
неевклидова 15, 18, 26, 28-34, 38, 40, 42-44, 46, 87
Герц, Генрих Рудольф 41, 56, 71
Гёдель, Курт 9, 11, 13, 42, 53, 62, 112, 113, 138, 145, 150, 154- 162, 164, 165, 167
теорема о полноте 37, 150, 158, 160
теоремы о неполноте 11, 42, 154, 156, 158, 159
Гёттингенский университет 9, 13, 19, 24, 35, 39, 49, 55, 65, 67, 71, 72, 84, 88, 90, 93, 99, 100, 103, 111, 121, 127, 142, 153, 167, 168
Гильберта
бесконечный отель 121
кривая 133
проблемы 53, 57, 62, 64, 65, 82, 100, 162
программа 140, 145, 147, 150, 153, 154, 162
гильбертово пространство 10, 69, 93-97, 106-108
Гордан, Пауль 19-22, 45, 142
Гордана проблема 13, 15, 19, 22
Дедекинд, Рихард 37, 114, 117, 124, 126, 138, 143
Ден, Макс 54, 62, 67
Дирак, Поль 103-107
Дирихле, Петер Густав Лежён 77
проблема 13, 77-79, 82, 83, 93
доведение до абсурда 20, 21, 136, 137
доказательство 8, 20-22, 24-26, 28, 41, 52, 57, 61, 102, 114, 125, 128, 134, 141, 142, 149-152, 154, 156-159, 161, 167
конструктивное 12, 20, 22, 112, 135, 136, 138, 142
экзистенциальное 12, 20, 22, 112, 136, 141, 142
Евклид 7, 21, 25-28, 31, 32, 35-37, 44, 142, 166
инварианты 13, 19, 20, 22-24, 35, 49, 85
интуиционизм 11, 132-143, 147, 154, 163
истина 8, 27, 38, 41-44, 52, 53, 112, 116, 120, 122, 123, 134, 135, 136, 142, 145, 150, 151, 154, 155-159, 162-163
Кант, Иммануил 7, 17, 35, 43, 132, 134, 137, 139
Кантор, Георг 11, 24, 43, 53, 112— 114, 124-127, 129, 130, 133, 136, 137, 141, 143, 161, 162 категориальность 161
квантовая механика 10, 13, 62, 65, 69, 72, 83, 92-94, 98-100, 103-108
