Парадоксы, открытые в рамках теории множеств, по мнению Брауэра, явно представляли собой опасность для чисто экзистенциальной математики. Не зря Кронекер всегда ожесточенно спорил с Кантором о том, что если не построить множества, о которых тот говорил (а он не мог их построить, поскольку подавляющее большинство их было бесконечным), теоремы теории множеств растворятся в воздухе. Нужно было вернуться на путь греческой математики, которая была конструктивной, а значит интуиционистской, при этом бесконечность присутствовала только в потенции, но никогда не была актуальной. Гаусс уже высказывал подобное мнение: «Я прежде всего протестую против применения бесконечной величины как завершенной, в математике это никак не допустимо.
Понятие бесконечности есть лишь способ выражения понятия предела». Для интуиционистов все трудности оснований математики исходили из использования бесконечности как чего-то законченного и идеального. Это нарушение происходит при попытке определить реальное число, такое, например, как число π = 3, 141592... Это многоточие после первых знаков после запятой создает у нас ложное ощущение, будто перед нами закрытый объект.
В итоге речь зашла о восстановлении классической математики, насколько это возможно, без обращения к принципу исключенного третьего и к доведению до абсурда. В 1918 году Брауэр начал реализацию своего плана, который он назвал «вторым актом интуиционизма» («первый» акт предполагался как интуитивное основание математики), в статье «Основание теории множеств, независимо от принципа исключенного третьего». Держась за интуиционизм Канта, Брауэр основывался на временной перечислимости и признавал возможность только счетных множеств, считая несчетные множества противоречащими интуиции. Как говорил Кронекер, «Бог создал натуральные числа, все остальное создано человеком». С несчетными множествами работать нельзя, чтобы не столкнуться с серьезными парадоксами. В интуиционистской теории множеств сами множества получают имя видов, и единственные позволенные собрания чисел — конечные собрания: {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}... Ни в коем случае не разрешено внезапно образовывать ансамбли из всех натуральных чисел {0, 1, 2,...}. Следовательно, алефы Кантора исчезают в тумане.
Бесконечность! Ни один другой вопрос так не вдохновлял человека, ни одна другая идея так не стимулировала его интеллект, ни одно другое понятие не требует большего разъяснения.
Давид Гильберт
Аренд Гейтинг, в свою очередь, вплотную подошел к арифметике. Интуиционистская арифметика включает в себя те же математические законы, что и классическая, но она подчиняется только логическим законам, которые удовлетворяют интуиционистов. В отличие от интуиционистской теории множеств, которая жертвовала значительной частью классической теории множеств, интуиционистская арифметика приготовила сюрприз: тесную связь с классической арифметикой. В 1933 году Курт Гёдель доказал, что для каждой формулы, доказуемой в арифметике Пеано, существует равносильная формула, которая доказуема в арифметике Рейтинга, и наоборот. Интуиционистская арифметика только внешне была слабее классической.
Наконец, в своей работе «Континуум» (1918) Герман Вейль попытался восстановить анализ с интуиционистских позиций. Он отказывался принимать произвольные множества натуральных чисел, учитывая только те бесконечные множества, которые можно было определить, построить. Поэтому ему удалось определить только те действительные числа, которые соответствуют арифметическому закону. То есть он восстановил только счетное количество несчетных чисел, которые составляют континуум. Для классического математика числовая прямая содержит все возможные последовательности Коши или сечения Дедекинда, а не только те, которые определимы, то есть те, которые можно уточнить с помощью построительного правила. И поскольку они представляют собой счетное количество, то оставляют числовую прямую полной отверстий, — это атомизированный континуум. Из чего следует, что интуиционистский анализ чрезвычайно отличается от классического. Математики-интуиционисты не принимают, например, теорему Больцано. И наоборот, классические математики не принимают многих результатов интуиционистов (для интуиционистов, например, не существует разрывных функций).
Интуиционистская реконструкция логики и математики не очень-то вдохновляла, хотя имела широкое распространение. Это была не реконструкция, а скорее разрушение. Интуиционистская математика искалечила классическую математику.
Снимок с торжества по случаю 60-летия Давида Гильберта. Рядом с ним вдова его друга Минковского (справа) и его жена Кёте. В тот период он полностью отдался спору с интуиционистами об основаниях математики.
Гильберт в своем саду вместе с Германом Вейлем, одним из своих любимых учеников, который, однако, выступал на стороне интуиционистов.
Ян Брауэр, нидерландский математик, который возглавил интуиционистское движение, считая своими предшественниками Канта, Кронекера и Пуанкаре. Самый ярый противник Гильберта.
Интуиционизм с его постоянным воззванием к конструктивности, основанной на временной перечислимости и на отказе от принципа «третьего не дано», выбросил за борт более половины классических достижений. С Брауэром математика обрела ясность, но математики наблюдали, как передовые теории, которые казались им прочными как скалы, обращаются в пепел. Хотя нидерландский математик без колебаний принял разрушение анализа, большая часть математического сообщества сочла это неприемлемым. Некоторые математики заговорили о «большевистской угрозе», которую несет Брауэр. И тут Гильберту пришлось вмешаться.
«ЖРЕБИЙ БРОШЕН»
Полемика между формализмом и интуиционизмом лежала в основе всего спора об основаниях в 1920 годы, при этом Гильберт и Брауэр были ее главными участниками. Спор, то ли из-за сложного характера Брауэра, то ли из-за большого авторитета Гильберта, перешел чисто академические границы и обрел форму личного противостояния. Началось оно в 1921 году, и сразу потеря в лагере Гильберта: дезертировал его блестящий ученик Герман Вейль. В этом году он опубликовал памфлет «О новом кризисе оснований математики», в котором поддерживал разгромные тезисы Брауэра и называл себя апостолом интуиционизма, предсказывая приход математической революции.
Спор затрагивал важнейшие стороны концепции математики Гильберта, но его бурная реакция отчасти объяснялась вопросами репутации. Если самый выдающийся ученик перешел в стан врага, почему этого не смогут сделать остальные?
В счастливые 1920-е, которые совпали с последним исследовательским этапом в его карьере, уже пожилой Гильберт посвятил себя спору об основаниях математики. И он вмешался в него со всем пылом, что определило в споре действительно новый поворот. Немец предложил «программу Гильберта» (уже намеченную в его знаменитой лекции в Париже в 1900 году), чтобы раз и навсегда заложить основы математики.
Для Гильберта наука была организмом, который растет и развивается одновременно во многих направлениях. Прояснение оснований с помощью аксиоматического метода было одной из фаз этого роста, и несмотря на всю важность, она необязательно была приоритетной. Для описания этой концепции Гильберт использовал характерную для себя метафору:
«Здание науки строится не как дом, где сначала закладывают прочный фундамент, а потом уже переходят к сооружению конструкции и отделке комнат. Наука прежде всего охватывает широкое пространство, чтобы иметь возможность свободно развиваться. И только после того, как проявляются первые признаки того, что ее слабый фундамент не выдерживает, принимаются за его укрепление и переопределение. Это признак не слабости науки, а наоборот. Это правильный и здоровый путь ее развития».
