Я ехал по дороге, деревья справа выстраивались в идеально правильную линию на скорости 60 км/час. Вдруг одно из них встало прямо передо мной.

Джон фон Нейман

Кажется, что из-за высокого уровня абстракции чистая математика может быть очень далека от того, что мы называем реальностью. Однако фон Нейман утверждал, что в математике всегда присутствует эмпирический зародыш, то есть она всегда основывается на каком-либо прямом реальном опыте. Он приводил два примера. Первый — геометрия, дисциплина, вместе с которой родилась математика. Сама этимология этого слова является достаточным доказательством, так как подразумевает измерение предметов. Аксиоматизация, проведенная Евклидом, отдаляет ее от эмпиризма и превращает в чистую науку. Многовековая проблема пятого постулата объясняется, по мнению фон Неймана, тем, что это единственный из всех пяти постулатов, в котором появляется бесконечное пространство, далекое от нашего опыта. Оно вновь находит свое место в реальности с момента использования неевклидовой геометрии в таких областях физики, как, например, теория всеобщей относительности. Второй пример — исчисление (исходная точка современной математики), зародившееся в трудах немецкого астронома и математика Иоганна Кеплера (1571-1630), когда тот пытался вычислить объемы фигур с изогнутыми поверхностями, что в конце концов привело к появлению понятия интегралов.

Фон Нейман привел и третий пример, в котором углублялся в область логики и философии. Может показаться, что в них нет ничего эмпирического, как в случае с теорией множеств, заставившей пересмотреть основания математики. От таких абстрактных систем можно ожидать абсолютной строгости, которая развеивает и тень сомнения по поводу истинности устанавливаемых истин. И тем не менее теоремы Гёделя нанесли удар математике и не оставили ей шанса на обретение непротиворечивых логических оснований. Перед лицом этого отрицания непротиворечивости фон Нейман предложил принимать математику такой, какая она есть, — как реальность, которую мы исследуем, так же как мы принимаем существование электрона, — а это в каком-то смысле возвращает данной науке ее эмпирический характер. Дословно он сказал следующее:

«Многие из лучших математических открытий вдохновлены опытом, и с трудом можно представить себе существование строгого математического понятия, неизменного и отделенного от всего человеческого опыта».

16 февраля 1956 года президент Дуайт Эйзенхауэр наградил фон Неймана, члена Комиссии по атомной энергии, медалью Свободы за его ценный вклад в работу над безопасностью США.

Фон Нейман читает лекцию о своей работе над вычислительными машинами в Американском философском обществе.

Впоследствии фон Нейман утверждал, что, напротив, перед математикой стоит риск вырождения. Он сравнил математику и физику. Последняя функционирует в гораздо более узких областях и имеет гораздо меньше ответвлений. Из этого вытекают два важных следствия. Во-первых, теоретический физик потенциально может иметь общие сведения, которые позволяют ему иметь представление по крайней мере о половине всего познаваемого в предмете его изучения, в то время как профессиональный математик, например сам фон Нейман, едва ли может надеяться на то, что знает хотя бы о четверти. А сегодня этот объем, несомненно, существенно сократился. Второй аспект относится к самой природе исследовательской работы. Перед лицом проблемы физик чувствует себя обязанным найти решение, так как обычно она тормозит развитие всей теории, и ученый не может обойти ее вниманием. Для математика же дела обстоят по-другому. Если он не может найти решение какой-либо проблемы, он просто отложит ее и перейдет к другой — математическая теория от этого не пострадает. Фон Нейман даже утверждал, что выбор конкретной задачи определяется исключительно эстетическими вкусами.

В конце статьи он предупреждал об опасности того, что математика может слишком далеко отойти от своих источников. Слишком узкая специализация абстрактной математики и ее постоянное отдаление от реальности могут привести к вырождению. Фон Нейман писал:

«В любом случае, если дело дойдет до этой точки, мне кажется, что единственным спасением будет возвращение к источнику: к введению более или менее эмпирических идей. Я убежден, что это необходимое условие для того, чтобы математика сохраняла свою свежесть и жизнеспособность, и что оно будет действенным и в будущем».

В наше время создается порядка 200 тысяч математических теорем в год. Разумеется, никто не в состоянии проверить даже малую часть тех истин, которые они предлагают. Прогнозы фон Неймана сбылись, причем в своей худшей части.

Список рекомендуемой литературы

Aspray, W .John von Neumann у los origenes de la computation modema, Barcelona, Gedisa, 1993.

Bell, E.T., Losgrandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.

Davis, M.D., Teoria deljuego, Madrid, Alianza Universidad, 1977.

Heims, S.J.,/. von Neumann у N. Wiener, Barcelona, Editorial Salvat, 1986.

Israel, G. у Millän Gasca, A., El mundo сото un juego matemdtico, Tres Cantos (Madrid), Nivola, 2001.

Kline, M., El pensamiento matemdtico de la Antigüedad a nuestros dias, Madrid, Alianza Universidad, 1999.

Mosteri'n, J., Los logicos, Madrid, Espasa Calpe, 2000.

Neumann, J. von, El ordenadory el cerebro, Barcelona, Antoni Bosch editor, 1999. —: Fundamentes matemdticos de la mecdnica cudntica, Madrid, Instituto de Matemäticas Jorge Juan, 1949.

Odifreddi, R, La matemdtica del siglo xx, Madrid, Katz Barpal Editores, 2006.

Pena, R., De Euclides a Java: Historia de los algoritmos у de los lenguajes de programation, Madrid, Nivola, 2006.

Poundstone, W., El dilema delprisionero, Madrid, Alianza, 2006.

Stewart, I., Historia de las matemdticos, Barcelona, Critica, 2008.

Указатель

EDVAC 116

ENI АС 112-120

IAS (Институт перспективных исследований) 13, 71, 99

Абердин 116

абстрактный автомат 136

самовоспроизводящийся 137

аксиоматизация 13, 35, 48, 53, 61, 67, 87, 95, 151

аксиоматика 35, 38, 46, 53

фон Неймана 57

Цермело — Френкеля 48, 50, 51

алгоритм 106, 107, 112, 114-116

аппаратное обеспечение 114, 115, 126

архитектура фон Неймана 8, 21, 116, 120, 122, 126

бионика 148

Больцано, Бернард 44

Борель, Эмиль 72

Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян 82

Дирак, Поль 101

доминирующий выбор 85

Винер, Норберт 140

Витгенштейн, Людвиг 59, 90

Гейзенберг, Вернер 8, 52, 98

Гёдель, Курт 57, 59-61, 101, 154

Гёттинген 13, 33, 35-37, 47, 52-55, 66, 98, 100

Гильберт, Давид 7, 13, 26, 33, 37, 38, 47, 52-55, 57, 60, 61, 98

дилемма заключенного 78, 132—134

дифференциальное уравнение 52, 106, 107, 128

заклад 65, 66, 69

значение игры 74

игра

антагонистическая 66, 92, 135

«Жизнь» 143, 144

с двумя игроками 74, 76, 79-81, 134

игры

военные 24, 75, 135

стратегические 133

излучение 52

измерение 41, 54, 55, 104

исчисление бесконечно малых 67, 88, 104

Канн, Маргарет (мать) 13, 20, 29

Канн, Якоб (дедушка

с материнской стороны) 19, 20, 23

кибернетика 8, 9, 139, 140, 146, 148

класс 48, 50, 51

Клейн, Феликс 36, 37, 40, 41, 54

клетки 138, 141-144

«Колосс» 114, 118, 119

конъюнкция 56

кригшпиль (см. также военные игры) 24, 25, 130