После этого формулы передавали третьей, наиболее многочисленной группе, состоящей, примерно, из ста человек. Сотрудники третьей группы получали от второй вместе с формулами и исходные числа. Используя только сложение и вычитание в той последовательности, в которой это было указано в формулах, передаваемых из второй группы, третья группа получала окончательные числовые результаты. Таков был путь расчета таблиц.

Члены второй группы имели возможность проверить расчеты третьей группы, применяя непреобразованные формулы, т. е. не повторяя работы третьей группы.

Следует отметить, что 90% сотрудников третьей группы не знали математики далее двух первых действий арифметики, но ошибались значительно реже, чем те, кто лучше знал математику и больше понимал существо задачи. Вычислители третьей группы не знали общей задачи, да это им и не было нужно. Умея довольно хорошо складывать и вычитать, они работали совершенно механически.

В основном все таблицы были созданы за два года. Простой перечень главных таблиц дает представление о проделанной работе:

1. Таблица синусов через каждую 1/10000 квадранта, рассчитанная с точностью до 25 знаков.

2. Таблица логарифмов синусов через каждую 1/10000 квадранта, т.е. таблица логарифмов всех чисел предыдущей таблицы с точностью до 14 знаков.

3. Таблица логарифмов отношений синусов к их дугам для первых 5000 значений углов из 10000, на которые разбит квадрант. Эта таблица рассчитана до 14 знаков.

4. Таблица логарифмов тангенсов для 10000 углов, на которые разбивается первый квадрант. Таблица аналогична таблице логарифмов синусов и рассчитана с той же степенью точности.

5. Таблица логарифмов отношений тангенсов к их дугам. Таблица аналогична соответствующей таблице логарифмов отношений синусов к их дугам.

6. Таблица логарифмов чисел от 1 до 10000, рассчитанная до 19 знаков.

7. Таблица логарифмов чисел от 10000 до 200000, рассчитанная с точностью до 14 знаков.

Фундаментальная работа, потребовавшая долгого и напряженного труда большого коллектива, — «Кадастр таблиц», как ее назвал Прони, — никогда не была опубликована. Причин было несколько. Одна из них заключалась в том, что деление окружности на 400 частей, а не на 360° имело существенный недостаток, так как 400 имеет меньше делителей чем 360.

Кроме того, с переходом к метрической системе потребовалось бы наряду с перерасчетом громадного числа таблиц (синусов, косинусов и др.) перепечатать тысячи томов математической литературы. В конечном счете дело ограничилось созданием двух экземпляров таблиц, каждый из семнадцати больших рукописных томов. В дальнейшем отдельные таблицы часто использовались в качестве контрольных. Ими пользовался впоследствии и Бэбидж, который для этой цели ездил в Парижскую обсерваторию, где хранились таблицы.

После окончания работ в Париже по составлению таблиц английское правительство обратилось к французскому с предложением напечатать эти таблицы обеими странами с равным распределением затрат. Хотя это предложение и не завершилось изданием таблиц, но в связи с переговорами по этому поводу в Париже была выпущена небольшая брошюра с описанием процесса вычисления таблиц.

После ознакомления с этой брошюрой Бэбидж решил применить метод Прони при создании своей машины. Точнее говоря, машина должна была заменить третью группу вычислителей, на которую в основном падала вся счетная работа.

В основу работы машины Бэбидж решил положить известное свойство многочленов, состоящее в том, что их конечные разности соответствующих порядков (зависящие от степени многочлена) равны нулю. Машину, работающую на этом принципе, он назвал разностной [¹ Впервые идея разностной машины была высказана в 1786 г. немецким военным инженером из Гессена И. Мюллером. Но это было чисто теоретическое предложение, которое никто не пытался осуществить.].

Бэбидж отмечал, что на вопрос о принципе работы машины, он мог бы ответить четырьмя словами: здесь используется метод разностей. При этом он добавлял, что нa этот вопрос можно было бы ответить и шестью знаками: Δⁿ U_x = 0, но такой ответ был бы непонятен спрашивающему, — саркастически замечал он [2 Δⁿ U_x = 0 означает, что для многочлена n—1 степени U_x = а + bx + cx² + ... + kx^n-1 n-е разности равны 0.] [85, с. 51].

Для иллюстрации метода разностей приведем следующий простой пример: табулирование функции у=х³ + х + 1. В таблице 1 наряду со значениями функции у приведены значения конечных разностей: Δ₁ (первые разности, или разности первого порядка), Δ₂ (вторые разности) и Δ₃ (третьи разности). Как видно из таблицы, первые разности получены вычитанием из каждого следующего значения функции ее предшествующего значения. С помощью аналогичной операции над первыми разностями получены вторые разности и т. д. При этом третьи разности данной функции (представляющей собой многочлен третьей степени) имеют одно и то же значение[³ Если функция представляет собой многочлен степени n, то при табулировании с постоянным шагом n-е разности постоянны.]. Далее, легко заметить, что суммируя по диагонали таблицы 1 конечные разности и соответствующее значение функции можно получить следующее значение данной функции. Например, 6+24+62+131=223. Именно это обстоятельство (возможность получения новых значений функции путем суммирования вычисленных ранее данных) Бэбидж решил использовать для механизации процессов составления таблиц с помощью специального устройства (разностной машины).

В качестве основного элемента разностной машины Бэбидж выбрал зубчатое счетное колесо, применявшееся в цифровых вычислительных устройствах с XVII в. Каждое колесо предназначено для запоминания одного разряда десятичного числа. Поскольку Бэбидж проектировал машину, оперирующую с 18-разрядными числами, регистр (устройство для хранения одного числа) состоял из 18 счетных колес. Количество регистров на единицу больше степени полинома, представляющего вычисляемую функцию (один регистр предназначен для хранения значения функции, другие — для запоминания конечных разностей). Машина, создаваемая Бэбиджем, предназначалась для расчета полиномов шестой степени и соответственно должна была иметь семь регистров.