В течение осени и зимы 1941-1942 годов Фейнман работал не покладая рук над своей теорией, используя своих старых «знакомых»: формализм Лагранжа и принцип наименьшего действия. Основной идеей данного подхода было то, что не следует обращать внимание на происходящее в определенный момент, а скорее, нужно сконцентрироваться на интервале времени. Напомним, что цель этого подхода состоит в том, чтобы выяснить, какой из всех путей, позволяющих частице перемещаться из одного пункта в другой, имеет наименьшее среднее значение действия. Расчеты Фейнмана показали, что с помощью этого принципа теория Уилера могла быть переформулированной, так как он позволял рассматривать путь частицы как одно целое: «Здесь мы имеем инструмент, который описывает характер траектории через все пространство-время». Но как это выразить на языке квантовой механики? Чтобы разобраться, будет полезно познакомиться с некоторыми тонкостями теории.

Если существует болезнь, симптом которой — вера в то, что логика может контролировать превратности судьбы, тогда Фейнман страдал этой болезнью, именно так же, как он страдал хроническим нарушением пищеварения.

Джеймс Глейк в биографии Ричарда Фейнмана

Волновая функция, описывающая поведение субатомной частицы (и которая находится при решении уравнения Шрё- дингера), доказывает, что все частицы ведут себя в каком-то смысле как волны в бассейне. Это означает, что они могут быть подвержены волновым феноменам, таким, как дифракция и интерференция. Особенностью волновой функции является

то, что она описывает не частицу как таковую, а вероятность найти эту частицу в указанном месте. Если волновая функция отличается от нуля в некоторых точках (при этом она может принимать как положительные, так и отрицательные значения), частица ведет себя так, как будто она находится во многих местах одновременно. Уравнения квантовой механики служат для нахождения изменения этой волновой функции во времени. Другими словами, они определяют трансформацию совокупности данных вероятностей (найти частицу в определенном месте) во времени. Однако существует важная и очень тонкая деталь, которая объясняет, почему кажется, что такие частицы ведут себя как волны: вероятность определяется не самой волновой функцией, но ее квадратом.

Квантовая механика дает совершенно абсурдное с точки зрения здравого смысла описание природы.

Ричард Фейнман

Допустим, мы желаем узнать вероятность того, что две частицы, А и В, находятся в одной коробке. Квантовая теория убеждает нас, что волновая функция системы соответствует сумме волновых функций каждой из этих частиц. Теперь предположим, что значение волновой функции А внутри коробки равняется ½, значение волновой функции В - ½. Если бы была только А, вероятность найти ее в коробке являлась бы значением волновой функции в квадрате, а именно (½)² = ¼. Если бы была только В, вероятность была бы (-½)² = ¼. А сейчас самое удивительное: так как мы имеем две частицы, вероятность найти одну из них равняется сумме значений их волновых функций в квадрате: {(½) + (-½)}². Результат — ноль! Можно ли представить настолько нелепую ситуацию? Если бы речь шла об одной частице, у нас был бы один шанс из четырех найти ее в коробке. Но с того момента, когда их две, нет никакого шанса найти одну или вторую. Фактически речь идет о явлении интерференции, с которой мы уже сталкивались в опыте с двумя щелями. Частицы способны иметь волновые свойства, они могут взаимодействовать и подавлять друг друга.

РИСУНОК 1: Путь от А к С проходит через В.

РИСУНОК 2: Путь от А к С проходит через все возможные пункты В: В_1, В₂, В₃.

А теперь давайте применим это к траекториям, которые может выбрать частица. Представим, что мы хотим поехать от А до С через В (рисунок 1). Вероятность добраться этим маршрутом рассчитывается как произведение вероятности поехать из пункта А в пункт В и вероятности поехать из пункта В в пункт С: Р(АВС) = Р(АВ) х Р(ВС).

С другой стороны, вероятность доехать из пункта А в пункт С все равно каким путем (рисунок 2) равна сумме всех вероятностей Р(АВС) путей, проходящих через любой пункт В. Предположим, что существует лишь три способа приехать в пункт С(В_р В₂, В₃). Вероятность тогда равна Р(АС) = Р(АВ₁С) + Р(АВ₂С) + Р(АВ₃С). Однако в квантовой механике все работает совсем по-другому, так как необходимо возвести волновую функцию в квадрат, чтобы рассчитать вероятности. В первом случае мы должны умножить волновые функции, соответствующие каждому этапу пути, а затем возвести в квадрат. Во втором случае, как для каждой частицы в коробке, нужно сложить волновые функции (которые иначе называют амплитудами вероятности) каждого пути, затем возвести результат в квадрат. В конце 1941 года Фейнман спросил себя, может ли он описать формализм квантовой механики как амплитуды вероятности, соответствующие определенным траекториям, вместо того чтобы описывать его исключительно этими амплитудами, как делалось до него.

Чтобы описать квантовую систему, физики искали «оператор Гамильтона» (математический объект, связанный с общей энергией системы). После его определения они могли переходить к расчетам. Данный метод не работал в мире временных задержек Уилера и Фейнмана. Успеха можно было добиться, только применив формализм Лагранжа и принцип наименьшего действия. Если бы у них это не получилось, то все их усилия были бы тщетны. Но как их применить? Ответ пришел во время пивного фестиваля в таверне «Нассау» в Принстоне. В этот день Фейнман, сидя рядом с Гербертом Йеле, бывшим студентом Шрёдингера, спросил его о том, знает ли он кого-то, кто уже применял принцип наименьшего действия в квантовой механике. Его лицо осветилось в тот момент, когда Йеле ответил, что Дирак, один из его кумиров, написал статью по этому поводу восемь лет назад.

Принцип наименьшего квантового действия

Упомянутая статья называлась «Лагранжиан в квантовой механике». Дирак высказывал мысль, что данный метод мог быть очень продуктивным и показывать неплохие результаты, так как он использовал принцип наименьшего действия, и лагранжиан мог быть простым способом ввести результаты теории относительности Эйнштейна.

Мы не нашли ничего ошибочного в теории квантовой электродинамики. Исходя из этого, я сказал бы, что речь идет о жемчужине научной мысли.

Ричард Фейнман «Свет и материя: странная история» (1954)

В своей статье Дирак подошел к проблеме так же, как и Фейнман, то есть рассчитывал вероятность, связанную с траекторией частицы. Но Дирак не углублялся в данную тему, а работал только над некоторыми деталями. Это Фейнмана не смущало, так как он знал уже достаточно, чтобы следовать намеченному Дираком пути. Его больше беспокоило следующее высказывание английского физика: «Мы должны ожидать, что существует квантовый аналог величины...» «Что это слово [аналог] делает в статье о физике?» —взорвался Фейнман. — Если два выражения аналогичны, не являются ли они тогда равными?» «Нет, — ответил ему Йеле, — несомненно, Дирак не хотел сказать, что они равны». Тогда Фейнман подошел к доске и начал делать расчеты. Дирак был прав, они не были равны. Тогда он подумал: «Может быть, если добавить константу...»

Он начал писать так быстро, что Йеле не мог угнаться за ним, прыгая от одного уравнения к другому, пока на доске не появилось что-то очень знакомое: уравнение Шрёдингера. Действительно существовала связь с формализмом Лагранжа! Как одержимый, Йеле начал переносить в тетрадь уравнения, написанные на доске. Слово «аналог», употребленное Дираком, означало «пропорциональный». Фейнман только что обнаружил нечто очень важное. Только один вопрос еще его мучил: как великий Дирак мог этого не учесть? Таким образом, когда он встретил его в 1946 году во время празднования 200-летия Принстона, между ними состоялся следующий диалог.