— Наконец, вероятностная интерпретация энтропии Больцмана позволяет рассчитать энтропию системы осцилляторов.

Математический вывод закона Планка

Для расчета энтропии взаимодействующих осцилляторов определенной частоты S = klnΩ необходимо рассчитать количество возможных конфигураций Ω. Это количество зависит от всех доступных способов распределения элементов энергии Р величиной ε между количеством осцилляторов, равным Ν. Обозначим элементы энергии кружками, границы элементов, соответствующих одному осциллятору, — крестиками. Любую конфигурацию можно записать в следующем виде.

Этот пример означает, что у первого осциллятора имеется три элемента энергии, у второго — один, у третьего — три, у четвертого — два и так далее. Возможное количество конфигураций нам дает комбинаторика, согласно которой:

Ω = (N + Р-1)!/Р!(N-1)!.

В цепочке у нас есть N + Р - 1 символов. Факториал в числителе означает все возможные комбинации крестиков и кружков. Факториалы в знаменателе показывают, что порядок, в котором идут кружки и крестики, не имеет значения, так как осцилляторы и элементы энергии неразличимы. Планк прибегнул к известному приближению, формуле Стирлинга, по которой Inn! = nlnn - n. И так как N и Р значительно больше единицы, получается:

S = k[(N + Р)lп(N + Р) - PlnP - N/ln/N].

Пользуясь тем, что UN = Pε, и вводя среднюю энергию каждого осциллятора, U_N= NU, Планк пришел к следующему выражению:

S = к[(1 + U/ε)ln(1 + U/ε) - (U/ε)lnU/ε].

Для того чтобы выражение энергии, получаемое из выражения выше, соответствовало закону смещения Вина, Планк доказал, что S может быть только функцией частного U/v. Это заставляет прибегнуть к гипотезе ε = hv, в которой h — константа, называемая сегодня постоянной Планка. С учетом этого получается:

S = к[(1 + U/hv)ln(1 + U/hv) - (U/hv)lnU/hv].

Второе начало термодинамики дает нам отношение между энергией и температурой:

1/T = dS/dU

Вычисляя производную и U, мы получаем среднюю энергию осциллятора:

U_v = hv/(e^hv/kT - 1)

Используя отношение между энергией осциллятора и электромагнитным полем, с которым он находится в равновесии, получаем выражение:

u_v = 8πh/c³·v³/(e^hv/kT - 1)

которое представляет спектральное распределение энергии, обнаруженное Планком эмпирическим путем.

К этим факторам Планк добавил квантовую гипотезу, необходимую для выполнения закона, правильность которого была доказана эмпирически. Также отметим, что каждый осциллятор может поглощать и испускать энергию излучения в величине, пропорциональной V. Когда осциллятор поглощает или испускает электромагнитное излучение, его энергия

увеличивается или уменьшается на величину hν. Кроме того, энергия осцилляторов квантуется. Энергия осциллятора с частотой v может принимать следующие величины: hv, 2hv, 3hv, ..., nhv.

Из всех этих составляющих, на взгляд Планка, самой значимой была не квантовая теория, а необходимость прибегнуть к вероятностной интерпретации Больцмана. Нужно понимать, что в конце века электродинамика и термодинамика были достаточно изучены, при этом идеи Больцмана вызывали довольно бурную полемику, особенно в Германии. И Планк стал первым из физиков после самого Больцмана, который использовал его методы. Тот факт, что идеи Больцмана привели его к успеху, поразил самого Планка, и по сравнению с этим квантовая гипотеза отходила на второй план. Как мы увидели, Планк был вынужден прибегнуть к ней, чтобы достичь нужного результата, а именно соответствия закону, который он открыл несколькими месяцами ранее и скрупулезно вместе с Рубенсом проверил его соответствие экспериментальным данным. Только использование квантовой теории позволяло привести расчет вероятностных состояний системы осцилляторов к ожидаемому результату.

Если статьи Эйнштейна (1879-1955) или Шрёдингера (1887-1961) можно сравнить с сочинениями Моцарта, они наполнены вдохновением и внутренней логикой, то статья Планка, опубликованная в 1901 году в Annalen der Physik, похожа на джазовую композицию, а его формула ε = hν — на гениальную импровизацию.

В письме Р. В. Вуду 30 лет спустя Планк размышлял над своей работой и называл то, что сделал, «актом отчаяния».

«Я бился шесть лет (с 1894 года) над проблемой равновесия между излучением и веществом без каких бы то ни было успехов. Я понимал, что эта проблема имеет фундаментальную важность для физики, и я узнал формулу, описывающую распределение энергии в нормальном спектре (то есть спектр черного тела); следовательно, требовалось найти любой ценой теоретическую интерпретацию, однако эта цена могла быть высокой».

Имперский физикотехнологический институт в районе Шарлоттенбург в Берлине. Здесь проводились исследования излучения черного тела, которые привели Планка к формулировке квантовой гипотезы.

Генрих Рубенс, профессор Имперского института физики и технологии в лаборатории. Ему удалось с огромной точностью измерить интенсивность излучения черного тела в инфракрасной части спектра. Эти исследования имели определяющее значение для работы Планка.

Когда Планку пришлось использовать выражение ε = hν, он воспринимал его как исключительно формальное предположение, однако эти формальные костыли привели ученого к искомому результату. Впоследствии многие физики указывали на радикальные последствия этой на первый взгляд невинной гипотезы.

Начало несчастий

Первые годы XX века были самыми счастливыми в жизни Планка. Он был женат на Марии Мерк (1861-1909), у него родились дети — Карл, Грета, Эмма и Эрвин. У него была прекрасная репутация исследователя и профессора, в доме Планков встречались музыканты, ученые, студенты и интеллектуалы той эпохи. Благодаря жалованью профессора и писательским гонорарам ученый не был стеснен в средствах и при этом периодически получал помощь от состоятельного тестя. И весь этот чудесный мир пошатнулся после смерти его жены в 1909 году. Хотя спустя совсем короткое время Планк женился вновь, несчастья с тех пор не оставляли его.

Сына Карла Планк потерял во время войны, в 1916 году. В 1917 году через неделю после родов умерла его дочь Грета. Вторая дочь, Эмма, взяла на себя заботы о ребенке. Ее дружеские отношения со свояком переросли в нечто большее, и Эмма вышла замуж за вдовца в январе 1919 года. Но в декабре этого же года Эмма повторила судьбу своей сестры — она тоже умерла после родов.

В письме Максу Борну Эйнштейн рассказывает, как тяжело ему было видеть Планка после смерти Эммы и как он не мог сдержать слез. Перед смертью второй дочери Планк писал своему коллеге Рунге:

«На Земле есть еще много прекрасных вещей и великих дел, которые нужно совершить, в конце концов ценность жизни определяется тем, как она была прожита. И так каждому человеку вновь приходится возвращаться к своему долгу продолжать жить дальше и выказывать своим близким ту любовь, которой он хотел бы, чтобы любили его».

Вторая жена Планка, Марга фон Хёсслин (1882-1948), всегда поддерживала мужа, а испытаний на его долю выпало немало. В письме, которое Марга написала в 1948 году Эйнштейну, мы читаем: «Он [Планк] полностью раскрывал свои человеческие качества только в семье». С Маргой у Планка родился пятый сын, Герман. Второй брак, забота о двух внучках, воспитанием которых ученый занимался лично, близкие отношения с сыном Эрвином помогли ему пережить несчастья.