Вдобавок какие-то аксиомы взаимозаменяемы: если выбрать одну из них, то другую можно доказать на ее основе. И надо решать, какой набор аксиом удобнее для доказывания. Евклид, в чьих трудах идея аксиоматики впервые проведена достаточно строго, одну из своих аксиом — постулат о параллельных прямых — сформулировал подчеркнуто неуклюже: похоже, он подозревал, что ее на самом деле можно доказать, и такой формулировкой нацелил на нее позднейших исследований. Правда, дело оказалось еще интереснее: как выяснилось уже в XIX веке, это действительно аксиома, и отказ от нее порождает другие геометрии, причем в рамках евклидовой аксиоматики можно построить модели этих геометрий — а значит, все они равно надежны.

Вопрос о надежности аксиоматики возникает и вне связи с опытом. Если в ней можно одновременно вывести и какое-то утверждение, и его отрицание, то такая противоречивая система явно бесполезна: уже доказанное можно сразу же опровергнуть. Если в системе можно построить утверждение, в ее же рамках недоказуемое, но и неопровержимое, то такая — неполная — система лишь ограниченно пригодна: для выяснения судьбы такого утверждения придется вводить в систему новые аксиомы.

Естественно, в числе целей математиков долгое время была проверка непротиворечивости системы аксиом, которой они пользовались. Желательна и полнота системы: не хочется каждый раз натыкаться, подобно Евклиду, на утверждения, с которыми заведомо невозможно справиться.

Доказательство непротиворечивости и полноты математической аксиоматики искали долго, упорно и весьма изобретательно. Но в 1931-м немецкий математик Курт Гёдель доказал две теоремы, радикально отличные от всех предшествовавших представлений об основаниях математики как логической структуры.

По первой теореме, любая теория, достаточно обширная, чтобы включать арифметику, либо неполна, либо противоречива. По второй теореме, если теория, включающая арифметику, непротиворечива, то ее средствами это недоказуемо.

Арифметика здесь весьма важна. И не только по техническим причинам: Гёдель построил конкретные примеры недоказуемых и неопровержимых утверждений, пользуясь именно арифметическими инструментами. Куда важнее содержательная сторона дела — связь с реальностью. Так, формальная логика не подчиняется теоремам Гёделя. Любое утверждение, сформулированное в ее рамках, можно ее же средствами однозначно доказать или столь же однозначно опровергнуть. В частности, утверждение об ее непротиворечивости строго доказано самой же логикой. Зато и средства логики столь бедны, что даже арифметические действия этими средствами невозможно определить — а значит, для описания реального мира формальная логика недостаточна.

Наука, занимающаяся реальным миром, в целом неизмеримо богаче не только формальной логики, но и арифметики, и математики вообще. Значит, по Гёделю, она заведомо неполна. Впрочем, наука на полноту и не претендует.

К концу XIX века известный физик Филипп Жолли сказал одному из своих учеников, что занятия физикой бесперспективны: все основные законы уже постигнуты, так что будущим поколениям осталась лишь техническая возня с их приложением к конкретным обстоятельствам. Учеником — по иронии судьбы — был Макс Планк, вскоре доказавший квантовую природу излучения, с чего началась новая, продолжающаяся и по сей день физическая революция.

Такой опыт давно убедил ученых: эйфория по поводу новых всеобъемлющих теорий — преходящая. Рано или поздно наука выходит за пределы познанного, и приходится вводить новые представления — новые аксиомы.

Одним из первых это сформулировал еще древнегреческий философ и математик Эратосфен: чем больше сфера наших познаний, тем больше поверхность ее соприкосновения с неизвестным. Правда, употребленный Эратосфеном образ имеет и оптимистическую составляющую. Соотношение объема и поверхности сферы пропорционально ее радиусу. То есть по мере роста познаний нам все легче оставаться среди уже открытого и все реже приходится сталкиваться с непонятным. Наука способствует избавлению от повседневной неизвестности.

Конечно, наука не исчерпывается аксиомами. Можно сверять теоретические предположения с опытом и такой сверкой заменять теоретические доказательства. Именно таким путем установлено, например, что поверхность Земли описывается с помощью не евклидовой, а римановой геометрии — то есть она не плоская, а примерно сферическая. Сейчас астрономические наблюдения уточняют аксиоматику геометрии всей нашей Вселенной.

Но все же возможности эксперимента небезграничны. Да и его трактовки неоднозначны. Эйнштейн указывал: только теория определяет, что именно мы увидели в эксперименте и что из него поняли. Так что научное познание — не только эксперимент, но и создание на его основе новых аксиом и даже аксиоматических систем — скорее всего будет продолжаться бесконечно. Мир так же невозможно исчерпывающе постичь научными методами, как и религиозными.

Неполнота науки позволяет, по Гёделю, надеяться: наука в целом непротиворечива. Даже если ее конкретные ветви содержат противоречия, то противоречия эти диалектические, снимаемые дальнейшим ходом развития.

Развитие некоторых отраслей науки уже вполне завершено. Например, вышеупомянутой формальной логики. Одно из ее достижений нам пригодится. Английский францисканский монах, богослов Иоанн Дунс Скот (1265–1308) сказал: из любого ложного утверждения можно строго логически вывести любое утверждение — как ложное, так и истинное. При этом совершенно не важно, связаны ли эти утверждения содержательно: по классическому примеру, если дважды два — пять, то существуют ведьмы. В рамках формальной логики закон Дунса Скота неоспорим.

Из первой теоремы Гёделя ясно: если какая-то система полна, она противоречива. Из закона Дунса Скота видно: если в системе выводима хотя бы одна пара противоречивых утверждений, то можно вывести и любое утверждение, сколь угодно бессмысленное. Таким образом, с практической точки зрения, противоречивая аксиоматика вполне равноценна заведомо ложному утверждению.

Теперь от математики вернемся к религии. Конечно, религия не сводится к аксиомам. Неоднократные богословские попытки полностью формализовать ее неизменно проваливались. Но все же некоторую — и порою довольно отчетливо сформулированную — аксиоматику религия в себя включает.

В рамках Моисеевой традиции (в нее входят иудаизм, христианство, ислам и несколько мелких течений) среди ключевых аксиом — единственность и всемогущество бога. Важна также аксиома бога как первопричины всего сущего: именно бог по своему плану и усмотрению создал весь мир и управляет им: прямо — через непосредственное вмешательство — или косвенно — с помощью созданных им законов.

В религиях политеистических обстановка сложнее: разные стороны жизни контролируются специализированными богами. В некоторых верованиях боги, создавшие мир, давно отстранены от дел или даже умерли и повседневностью занимаются не «основатели фирмы», а их наследники или даже наемные служащие. А уж в субъективном идеализме — например, в буддизме — первопричина мира и текущее управление им вовсе не связаны со святым духом.

Но, даже в столь сложных и запутанных системах неизменна ключевая идея, объединяющая любые религии: предположение о силе, внешней по отношению ко всему миру, создавшей его, способной влиять на него, не подвергаясь никакому ответному влиянию. А как устроена эта сила внутри — не так уж важно.

Гипотеза существования такой силы, в частности, объясняет все, чему не удается найти иного объяснения.

Конечно, наука многое почерпнула в богословии. И глобальная ее цель — изучение устройства мира — изначально была вполне религиозна: постижение замысла творца. Но именно поэтому наука вынуждена отказываться от использования аксиомы бога. Слишком велик соблазн, дойдя до предела своих познаний, объявить все лежащее за этим пределом непосредственными результатами неисповедимого промысла божия. Но ссылки на бога не объясняют, как именно бог в каждом конкретном случае поступил, как устроено его творение, в чем состоял его замысел и промысел. Не зря говорят: любой серьезный ученый независимо от своего вероисповедания в свободное от работы время на работе вынужден быть атеистом. Иначе попросту скучно работать.