81 - 90

Задача 81. Известно, что а · b = 18. Чему равно (а · 2) · (b : 3)?

Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 12.

Задача 82. В футбольном турнире участвуют 5 команд из Москвы, Санкт-Петербурга, Великого Новгорода, Нижнего Новгорода и Екатеринбурга. Турнир проводится в два круга: каждая пара встречается один раз в одном городе, другой — в другом. Сколько матчей состоится в каждом городе? Сколько всего матчей в этом турнире?

Чтобы понять условие, нужно разобраться, какие игры и в каких городах проведет каждая команда. Начнем, например, с команды Москвы. Она проведет две игры с петербуржцами: одну в Москве, одну в Санкт-Петербурге. Она проведет две игры с Великим Новгородом: одну у себя, другую в гостях — и так далее. Результатом такого рассмотрения становится рисунок, на котором изображены пять стадионов и отмечено, какие команды приедут в гости на эти стадионы. Теперь ясно, что в каждом городе состоится по 4 матча, а всего матчей будет 5 · 4 = 20. Полезно спросить, сколько было бы матчей на каждом стадионе и сколько всего, если бы команд было 10. А самые сильные ученики могут придумать формулу n · (n — 1), обозначающую число встреч в двухкруговом турнире с n участниками.

Ответ: По 4 на каждом стадионе; всего 20.

Задача 83. Старинная русская задача. Некто узнал, что корова на ярмарке стоит вчетверо дороже собаки и вчетверо дешевле лошади. Он взял на ярмарку 200 рублей и на все эти деньги купил собаку, двух коров и лошадь. Что почем?

Самую маленькую цену — цену собаки — примем за 1 часть. Тогда цена коровы равна 4 частям, цена лошади — 16 частям, а общая цена покупки равна 1 + 8 + 16 = 25 частям. И так как 200 рублей равны 25 частям, то все цены легко определяются.

Ответ: Собака стоила 8 руб., корова — 32 руб., лошадь — 128 руб.

Задача 84. В пакете лежат конфеты. Если раздать их детям по 5 конфет каждому, то двоим конфет не достанется. А если раздать их по 4 конфеты, то в пакете останется еще 176 штук. Сколько конфет в пакете?

Одно из возможных уравнений составляется так:

Число конфет при первой раздаче = Число конфет при второй раздаче;

х — число детей;

х — 2 — число детей, которым досталось по 5 конфет при первой раздаче;

5 (х — 2) = 4х + 176.

Ответ: 920.

Задача 85. Известно, что а · b = 27. Чему равно (а : 3) — (b : 3)?

Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 3.

Задача 86. Среди 18 монет есть одна фальшивая, более легкая. Как одним взвешиванием на чашечных весах без гирь отобрать среди этих монет 6 настоящих?

Ответ: Разделив монеты на 3 группы, надо сравнить вес двух шестерок.

Задача 87. Возьми любое трехзначное число и припиши к нему такое же число. Получится шестизначное число. Раздели его на 7. Что получится, раздели на 11. Что получится, раздели на 13. У тебя получится то трехзначное число, с которого ты начал. Почему?

Приписав к трехзначному числу такое же число, мы умножили его на 1001. А разделив полученное число сначала на 7, потом на 11, а потом на 13, мы снова разделили его на 1001. Заметим, что эту задачу легко превратить в игру, когда один ученик пишет на листе бумаги трехзначное число и передает его второму, второй дописывает число до шестизначного и передает его третьему, третий делит число на 7 и т. д. и наконец, результат возвращается первому.

Ответ: 7 · 11 · 13 = 1001.

Задача 88. У мальчика в правом кармане втрое больше орехов, чем в левом. Если в оба кармана положить еще по 10 орехов, то в правом кармане их будет вдвое больше, чем в левом. Сколько орехов в каждом кармане?

Одно из возможных уравнений составляется так:

будет орехов в правом кармане = 2 · (будет орехов в левом кармане);

х — имеется орехов в левом кармане;

Зх — имеется орехов в правом кармане;

3х + 10 = 2 — (х + 10).

Ответ: 10 в левом, 30 в правом.

Задача 89. Известно, что а : b = 8. Чему равно (а · 3) : b?

Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.

Ответ: 24.

Задача 90. Семь одинаковых батонов хлеба надо разделить поровну между 12 людьми. Как это сделать, разрезая каждый батон на равные части, но не разрезая ни один на 12 частей?

Можно каждый из трех батонов разделить на четыре части, а каждый из остальных четырех батонов разделить на три части. Получится 12 четвертушек и 12 третьих долей батона. Каждому из 12 людей надо дать по одной четвертушке и по одной трети батона. Тем самым будет роздан весь хлеб, и при этом каждый получит поровну. Это служит достаточным основанием для доказательства, что задача решена. В таком виде ее могут решить люди, не умеющие работать с дробями. Но в 4 классе можно подтвердить результат арифметически. Заметим, что именно так работали с дробями древние египтяне, сводившие всякую задачу о дробях к задаче о долях.

91 - 100

Задача 91. В футбольном турнире участвуют 5 команд из Москвы, Санкт-Петербурга, Великого Новгорода, Нижнего Новгорода и Екатеринбурга. Турнир проводится в один круг: каждая пара встречается один раз. Сколько всего матчей в этом турнире?

Матчей будет вдвое меньше, чем в двухкруговом турнире, то есть не 20, а 10. Заметим, что если бы команд было 10, то матчей было бы (10 · 9) : 2 = 45, а общая формула числа матчей при n участниках выглядит так:

Ту же задачу можно решить на чертеже, на котором отрезок обозначает матч. Отрезков, как мы видим непосредственно, десять. И наконец, можно эту задачу театрализовать. Вызовем к доске пятерых учащихся и приколем им нагрудные знаки: М, C-Пб, В.Н., Н.Н. и Е. Шестому ученику дадим нарукавную повязку судьи соревнования. Договоримся обозначать матчи рукопожатиями. Сначала пожимает руки товарищам москвич. Судья фиксирует на доске, что он сделал 4 рукопожатия — 4 матча. Москвич садится на место, а петербуржец пожимает руки остальным — 3 рукопожатия. И так далее. Судья подсчитывает число матчей: 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

Ответ: 10.

Задача 92. Как с помощью сосудов вместимостью 4 и 7 л налить из водопроводного крана в чайник ровно 2 л воды?

Эту задачу можно решать двумя способами: 1 способ состоит из таких операций: наливаем воду из крана в меньший сосуд, переливаем ее из меньшего сосуда в больший, выливаем воду в чайник из меньшего сосуда; 2 способ состоит из таких операций: наливаем воду из крана в больший сосуд, переливаем ее из большего сосуда в меньший, выливаем воду в чайник из большего сосуда.

Надо попробовать оба способа и выбрать наиболее короткий.

После этого операции повторяются. Итого первым способом можно выполнить требуемое за 10 переливаний.

1 способ