Повторяя эту операцию снова и снова, мы можем построить математическую теорию, похожую на дерево, на котором с помощью небольшого количества корней можно породить потенциально бесконечное количество веток и листьев. Какие- то из них более важны (более крепкие и плодородные в своем потенциале создания новых ветвей), чем другие, но все они одинаково истинные.

Рассказывают, что Птолемей I потребовал у Евклида обучить его математике, при этом не желая тратить много сил и времени. Он хотел, чтобы ученый упростил свои объяснения, на что тот ответил:

"Ваше Величество, то, о чем Вы меня просите, невозможно; необходимо пережить и пройти через все необходимые шаги, чтобы понять науку. Не существует царской дороги в математику".

Невозможно преувеличить важность евклидовой геометрии. Практически все последующие поколения математиков использовали ее в качестве отправной точки. Сегодня любой математик, предлагающий новую теорию (или пытающийся переформулировать существующую), пользуется системой Евклида. До самого XX века его книга — знаменитые "Начала" — была самой популярной после Библии и считалась отправной точкой и необходимым объектом изучения в университетах.

Но несмотря на невероятные результаты, некоторые нюансы деятельности Пифагора и школы, которую он основал, сегодня могут показаться неприемлемыми. Пифагорейцы представляли собой что-то вроде тайной религии или секты и, возможно, не сильно отличались от других секретных древнегреческих обществ, например элевсинских или орфических мистерий. Так же как и посвященные элевсинцы, пифагорейцы не могли открывать природу своей деятельности.

Пифагорейский мистицизм был тесно связан с идеей того, что число — это сущность природы. Но под числом пифагорейцы понимали не совсем то же, что и мы. Для них числа были только натуральными и теми, что могут быть выражены в виде частного натуральных (3/4,5/8 и так далее): множество рациональных положительных чисел.

Конечно, пифагорейцы умели измерять геометрические длины. Верные своей мистической вере в числовую сущность природы, они были уверены, что любую длину можно выразить рациональным положительным числом. Они ожидали, что геометрия будет открывать природу, подобно любой естественной науке или музыкальной гармонии, также открытой ими.

И тут произошла катастрофа. Согласно легенде, один из учеников Пифагора доказал, что гипотенуза прямоугольного треугольника не является числом в том смысле, который назначали этому понятию пифагорейцы. Как ни удивительно, речь шла о самым простом прямоугольном треугольнике, у которого два катета имеют длину, равную единице, — о треугольнике не только прямоугольном, но и равнобедренном. Действительно, в данном случае гипотенуза, согласно собственно теореме Пифагора, равна √2.

Но √2 нельзя выразить в виде рационального положительного числа! Это то, что мы сегодня называем иррациональным числом, так как его нельзя выразить в виде отношения между двумя натуральными числами. Именно это, как говорит легенда, доказал Гиппас из Метапонта (ок. 500 до н. э.), строптивый ученик, за что его (или за то, что он открыл миру свое доказательство), как говорят, утопили в море рядом с Кротоной. Здесь мы видим типичный случай доказательства от противного, в котором предполагается противоположное тому, что нужно доказать, и, в свою очередь, доказывается, что это предположение приводит к неразрешимому противоречию с уже доказанной истиной. Это один из самых мощных способов доказательства в математике, при котором, как говорил британский ученый Годфри Харди (1877-1947), математик рискует сильнее, чем любой шахматист с его гамбитом: он рискует всей игрой.

Интеллектуальная гордость пифагорейцев перенесла тяжелейший удар: мир, по-видимому, не был основан на числе как основной сущности. Пифагорейцам не пришло в голову, что достаточно пересмотреть их ограниченное понятие числа, чтобы решить дилемму. Но это объяснимо; на заре математики для пифагорейцев было невозможно принять то, что им казалось невыразимым. В конце концов, они были вынуждены провести различие между величиной и числом, между длинами, измеряемыми в геометрии, и числами, выражаемыми арифметически. Так, обе дисциплины начали отдаляться друг от друга, и только работы ученых XVI и XVII веков Франсуа Виета, Ферма и Рене Декарта смогли воссоединить их.

Представим, что число √2 рационально. Тогда его можно выразить в виде отношения двух целых чисел: √2 =p/q. Мы можем предположить, что предыдущее отношение несократимо, то есть его нельзя упростить еще больше, или, что то же самое, р и q не имеют общих делителей. Итак, из предыдущего выражения следует, что 2 = p²/q². Следовательно, p² — четное. Но если целое число в квадрате четное, то и само число, p, тоже четное (поскольку квадрат нечетного числа всегда нечетный). Следовательно, мы можем записать p = 2k и 4k² = 2q², или 2k² = q². То есть q² также четное, и q тоже. Но это противоречит гипотезе о том, что у p и q нет общих делителей! Следовательно, одна из наших гипотез ложная. Это не может быть гипотеза о том, что отношение несократимо; то есть ложно предположение о том, что √2 — рациональное число.

Эпоха Возрождения привела к настоящему пробуждению интеллектуальной математической деятельности. В течение же всего Средневековья сложно найти выдающиеся математические достижения в Европе; они встречались только в мусульманском мире. Но постепенное знакомство с греческими текстами, которые были сохранены арабами, в сочетании с оригинальным вкладом исламских ученых, вызвали у первых математиков XVI века беспрецедентную активность.

Никколо Фонтана (1499-1557), по прозвищу Тарталья, и Джироламо Кардано (1501-1576) были одними из самых знаменитых ренетов. Детство Тартальи нельзя назвать безоблачным: у него не было отца, он рос в нищете, а при завоевании Брешии французский солдат нанес ему рану, затронувшую челюсть и нёбо, из-за чего он не мог нормально разговаривать. Отсюда его прозвище, означающее "заика". Кардано, знаменитый врач, алгебраист и великий инженер, потерял сына, поскольку не смог заплатить компенсацию, которая требовалась, чтобы того не казнили. Случилось так, что итальянский математик Сципион дель Ферро (1465-1526) нашел решение кубических уравнений, которое держал в секрете ото всех, кроме своих самых близких учеников. Один из них, А.М. Фиоре, вызвал Тарталью в 1535 году на математическое соревнование. Работая в усиленном темпе, Тарталья нашел собственное решение, более общее, чем у дель Ферро. Это позволило ему застать Фиоре врасплох, решить все задачи с кубическими уравнениями, которые тот ему предлагал, и, в свою очередь, выиграть у него, предложив ему задачи, которые Фиоре не смог решить. Кардано узнал об этом состязании и постарался расположить к себе Тарталью, который в итоге показал ему решение, потребовав хранить его в секрете. Но Кардано узнал также решение дель Ферро и, думая, что это освобождает его от необходимости хранить секрет, опубликовал результат Тартальи в "Великом искусстве", большом трактате по алгебре.

Никколо Фонтана Тарталья.

Джироламо Кардано.

Очень рано произошло разделение этой науки. С одной стороны были геометры, которые пытались понять и дополнить результаты греков. Следует иметь в виду, что хотя и сохранилось несколько книг, многие из них погибли при различных исторических обстоятельствах, произошедших между эпохой эллинизма и Возрождения — в период, охватывающий около 2000 лет. Среди этих событий примечательно разрушение (или несколько разрушений) Александрийской библиотеки. Итак, математики эпохи Возрождения, убежденные в том, что потеряли огромную массу знаний, пытались заполнить бреши, которые история проделала в трудах Евклида, Архимеда, Диофанта, Птолемея и Аполлония. Они исповедовали греческий метод: строгие и красивые геометрические доказательства.