Но далее Паскаль озвучил несколько сомнений. Во-первых, он попытался упростить проблему, сведя ее к игре с монетами (орел или решка) так, чтобы шансы были равны для обоих игроков. На основе этого, воспользовавшись рекурсивным методом, алгебра которого довольно сложна, он предложил решение полной проблемы. Здесь он рассматривал уже не только четвертый бросок, но также и оставшиеся возможности: выигрыш участника на пятом, шестом, седьмом или восьмом броске или проигрыш после всех них.

Ферма ответил, что анализ Паскаля верен, но предложил намного более простой метод. Вместо сложного алгебраического ответа Паскаля тулузец просто осуществил пересчет возможных случаев и выбрал среди них благоприятные. Однако на основе невероятной догадки (поскольку ни он, ни Паскаль не делали никаких эмпирических усилий для подтверждения своих результатов) он сделал нечто очень любопытное: Ферма не остановился на ситуации выигрыша бросающего, а рассмотрел случаи, когда он выиграет на бросках с пятого по седьмой, если партия продолжится.

Согласно Ферма, нужно было рассмотреть все эти случаи, чтобы правильно вычислить вероятность. Только таким образом можно быть уверенным в том, что правильно вычислены все возможные и все благоприятные случаи. Он был прав, но ни Паскаль, ни многие из тех, кому стало известно это рассуждение (в частности, Роберваль), сначала не понимал его. Почему нужно продолжать игру, когда один из игроков уже выиграл? Было абсурдным рассматривать данные случаи, поскольку в настоящей игре действие останавливается, как только кто-то выигрывает, так же как останавливается партия в теннис, когда один из спортсменов выигрывает три из пяти сетов. "Это правда,— комментировал Паскаль в своем ответе,— что два человека могут продолжать игру после того, как один из них выиграл, и что, по логике, остальные броски не изменят результат. Но что произойдет, если их будет три или больше?"

Представим себе, что есть три человека, у которых равная вероятность выигрыша. Если один из них выиграл, скажем, с четвертой попытки, ему невыгодно продолжать игру, поскольку другой сможет сыграть с ним вничью. Такого не происходит с двумя игроками, но может произойти с тремя или более. Паскаль спросил у Ферма: "Как же тогда можно утверждать, что нужно учитывать все случаи до завершения всех восьми бросков?" Не рассматривал ли Ферма не очень реалистичный пример?

Хотя Паскаль и не открыл этот треугольник, зато он был первым на Западе, кто глубоко исследовал его. До него индийские, персидские, китайские и западные математики изучали некоторые аспекты этой любопытной структуры. Самое элементарное свойство треугольника в том, что каждое составляющее его число равно сумме двух чисел, расположенных над ним. Из такого простого свойства вытекает огромное количество результатов.

Например, двучлен, возведенный в степень η - 1, будет иметь для каждого из его членов коэффициенты, соответствующие ряду треугольника, определяемого п. Так:

(a + b)⁰ = 1

(a + b)¹ = 1 · а + 1 · b

(a + b)² = 1 · а² + 2ab + 1 · b²

(a + b)³ = 1 · а³ + 3a²b + 3ab² + 1 · b²

(a + b)⁴ = 1 · а⁴ + 4а³b + 6а²b² + 4аb³ + 1 · b³.

Другое непосредственное применение треугольника — вычисление сочетаний. Клетка k в ряду n (при нумерации с 0) соответствует всем способам выбрать k элементов из n, если порядок не имеет значения.

Например, если у нас есть четыре элемента и мы хотим выбрать два из них, при этом порядок не имеет значения, мы можем сделать это шестью способами:

Именно эту формулу использовал Паскаль для вычисления вероятностей в игре.

Любопытно, что Паскаль использовал теорию вероятностей в одной из своих самых важных теологических работ. Французский математик был католическим мыслителем, испытавшим влияние янсенизма. В знаменитых "Мыслях"— книге, которую он начал писать вскоре после смерти своего отца, но так и не закончил,— Паскаль говорит о вере в Бога в утилитарной форме, как о споре. Если не верить в Него, но Он на самом деле существует, мы будем вечно прокляты: следовательно, рационально верить. Даже если мы не уверены, ожидаемое значение (вечное спасение) в бесконечное число раз больше, если мы будем верить, чем если мы не будем верить (в таком случае — вечное проклятие). Этот аргумент критиковали несколько философов, но здесь важно оценить, как математическая мысль проникла в философию Паскаля.

Паскаль не только поставил этот вопрос. Он ответил самому себе, пользуясь своим треугольником для вычисления всех возможных сочетаний. Полученный им ответ, как ему показалось, не был правильным, и он решил найти парадокс в методе Ферма. На его письмо, самое сложное из написанных Паскалем, датированное 24 августа 1654 году, Ферма ответил очень кратко.

Ошибка Паскаля была очевидной для тулузского судьи: он забыл, что даже если учесть все сочетания, поскольку предполагается, что игра будет продолжаться до конца, то целью является только рассмотрение всех возможных случаев. Благоприятными случаями, например для игрока А, можно назвать только те, в которых А выигрывает, даже если В и С сыграют с ним потом вничью. Ничья не имеет значения, так как А уже выиграл. Как будто футбольный матч закончился 2:1, но игроки договорились, чтобы развлечься, продолжить играть еще немного. Официальный результат, независимо от того, будет ли потом ничья, останется 2:1. Другими словами, следует учитывать порядок, в котором встречаются благоприятные случаи. Если вычислить благоприятные случаи, учитывая порядок, парадокс исчезает.

Паскаль принял объяснение Ферма и счел проблему решенной. Ни Паскаль, ни Ферма больше не возвращались к теории вероятностей. В любом случае, из этой короткой переписки возникли важнейшие основополагающие идеи для последующего развития теории вероятностей, которое продолжили сначала Христиан Гюйгенс, а затем гениальная семья Бернулли.

Поправку Ферма, касающуюся пространства элементарных событий, сложно представить себе интуитивно и понять. Рассмотрим это на примере. Представим себе: некий человек говорит, что у него двое детей, из которых один мальчик. Какова вероятность того, что его другой ребенок тоже мальчик? Большая часть людей ответит: 50 %. Но это неверно. Существует четыре возможности в пространстве элементарных событий, которые мы можем записать в следующем виде: МД, ММ, ДМ, ДД. Ясно, что четвертая возможность исключается из-за предоставленной нам информации. Но остаются три, а не две равновероятные возможности. Следовательно, вероятность того, что другой ребенок окажется мальчиком, равна 1/3.

Паскаль и Ферма установили способ рассуждения о будущем. Оно непредсказуемо полностью от события к событию, зато предсказуемо в целом, когда подобные события повторяются достаточное число раз. Это стало удивительным откровением, будущую судьбу которого едва ли можно было тогда предвидеть.

В обращении к Академии Мерсенна Паскаль говорил о своих математических работах, закончив перепиской, которую он поддерживал с Ферма. Он уверял, что они оба получили нечто парадоксальное: 

"Так, соединив строгость доказательств науки с неопределенностью случая и примирив между собой эти две внешне противоположные вещи, можно справедливо объединить их названия в удивительный заголовок: "геометрия случая".