Прямое доказательство ведёт через рассмотрение оснований и через рассмотрение выводов, опирающихся на основания, к усмотрению истинности доказываемого тезиса. Схема этого вида доказательства: из данных оснований (а, b...) необходимо следуют положения (k, l...); из этих последних необходимо следует доказываемый тезис p. Так как все основания доказательства (а, b...) — истинны и так как логическая связь, ведущая от (а, b...) через (k, l...) к положению p, — правильная, то доказываемый тезис p — истинен.
Прямое доказательство устанавливает истинность доказываемого тезиса посредством исследования самого доказываемого тезиса. Исследование это выясняет, что так как доказываемый тезис необходимо следует из некоторых положений и так как положения эти истинны, то доказываемый тезис также будет истинным.
Косвенное доказательство устанавливает истинность доказываемого тезиса, исследуя не самый доказываемый тезис, а некоторые другие положения. Эти положения так связаны с доказываемым тезисом, что из установления их ложности необходимо вытекает истинность доказываемого тезиса. Поэтому в косвенном доказательстве задача состоит в выяснении ложности положений, обусловливающей истинность доказываемого тезиса.
Косвенное доказательство бывает или разделительным, или апагогическим.
В разделительном косвенном доказательстве доказываемый тезис рассматривается как одно из некоторого числа предположений, в своей сумме исчерпывающих все возможные по данному вопросу предположения. Доказательство состоит в том, что все эти предположения опровергаются, кроме одного, которое и есть доказываемый тезис. Тем самым доказывается, что этот тезис, как единственное из всех возможных предположений, которое осталось неопровергнутым, должен быть истинным.
Если, например, установлено, что имело место преступление, которое непосредственно могли совершить только лица А, В, С и D, и если, кроме того, установлено, что ни В, ни С, ни D непосредственно не совершили его, то тем самым доказано, что преступление непосредственно совершило лицо А.
Условием логической безупречности разделительного доказательства является полнота перечисления и, соответственно, полнота исследования всех возможных по данному вопросу предположений. Только при этом условии опровержение всех рассмотренных предположений, кроме одного, означает необходимую истинность этого последнего оставшегося неопровергнутым предположения. Так, возвращаясь к рассмотренному примеру, необходимо заметить, что виновность А в непосредственном совершении раскрытого преступления необходимо вытекает из опровергнутой виновности В, С и D лишь при условии, если установлено, что только А, В, С и D могли непосредственно совершить данное преступление. Но если бы оказалось, что по обстоятельствам данного случая преступление могло быть непосредственно совершено также и лицом Е, то опровержение виновности В, С и D, разумеется, ещё не доказало бы виновности А, так как виновным может оказаться Е.
В математических науках разделительное доказательство применяется очень часто, так как в этих науках особенно легко достижимо исчерпывающее перечисление всех видов данного рода или всех предположений, возможных в исследуемом случае.
В науках нематематических применение разделительной формы доказательства обусловлено возможностью исчерпывающего перечисления всех возможных положений, одним из которых является доказываемый тезис. В этих науках часто невозможно заранее перечислить и учесть все эти положения. В таких случаях, если пренебречь тем, что не имеется необходимых условий для строгого разделительного доказательства, легко возникает ошибка необоснованного заключения, которое может оказаться ложным. Но даже если бы выведенное заключение случайно оказалось соответствующим действительности, истинность его осталась бы в данном случае недоказанной.
Апагогическое косвенное доказательство устанавливает истинность доказываемого тезиса посредством опровержения противоречащего ему положения. Из ложности последнего следует — на основании закона исключённого третьего — истинность доказываемого тезиса. В математических науках апагогическое доказательство принимает особую форму, называемую обычно «доказательством от противного». Название это, общепринятое в математике. не точно, так как в этих доказательствах истинность доказываемого тезиса выводится из ложности не противного, а противоречащего ему тезиса[24].
Косвенное апагогическое доказательство имеет две части. Сначала при помощи особого приёма доказывается ложность тезиса не-p, противоречащего доказываемому тезису р. А именно: предполагают, что тезис не-р, противоречащий доказываемому, — истинен. Этот противоречащий тезис (не-p) вводится в число оснований доказательства (а, b, с, d), о которых известно, что они истинны. Затем из получившихся таким образом оснований (а, b, с, d..., не-p) развивают ряд необходимо следующих из них выводов. Выводы эти развивают до тех пор, пока не получится какое-нибудь заключение, противоречащее одному из оснований, например основанию а. Так как два противоречащих друг другу положения не могут быть — по закону противоречия — оба сразу истинными, и так как известно, что положение а — истинно, то заключение не-a необходимо должно быть ложно. Итак, развивая выводы из принятых оснований, мы получили ложное заключение не-a. Но заключение не-a может быть ложно или оттого, что ложно какое-нибудь из оснований, на которые опирается не-а, или оттого, что логическая связь между основаниями (а, b, с, d..., не-p) и заключением (не-а) — неправильная. Так как в нашем случае логическая связь (по предположению) — правильная, и так как известно, что все основания, кроме не-р,— истинны, то ложным должно быть положение не-р.
Такова первая часть, или стадия, косвенного апагогического доказательства. Эта первая стадия выявляет ложность сделанного вначале предположения об истинности тезиса, противоречащего доказываемому. Поэтому первая часть косвенного доказательства называется reductio (deductio) ad absurdum, т. e. «приведение к нелепости».
Вторая стадия косвенного апагогического доказательства очень краткая. Предположенный истинным тезис не-p оказался ложным. Но тезис этот— противоречащий по отношению к доказываемому. На основании закона исключённого третьего из ложности суждения необходимо следует истинность противоречащего ему суждения. Поэтому из установленной ложности не-p необходимо следует истинность р, т. е. истинность того самого положения, которое должно было быть доказано.
Такова схема косвенного, апагогического доказательства.
Примером такого доказательства может быть доказательство известного правила первой фигуры простого категорического силлогизма. Согласно этому правилу, меньшая посылка первой фигуры должна быть утвердительной. Доказывается это следующим образом.
Предположим, что меньшая посылка первой фигуры может быть отрицательной, т. е. предположим, что истинен тезис, противоречащий доказываемому. Все остальные условия и правила первой фигуры, доказанные теорией силлогизма в качестве истинных, оставим в силе и, присоединив к ним предположение, будто меньшая посылка может быть отрицательной, посмотрим, какие выводы последуют из всех этих положений.
Если меньшая посылка (S—М) — отрицательная, то, согласно общим правилам силлогизма, заключение (S—Р) также будет отрицательное. Как известно из правил распределённости терминов, в отрицательном суждении предикат всегда распределён. Но предикат заключения является большим термином силлогизма. Согласно общим правилам силлогизма, если больший термин (Р) распределён в заключении, то он должен быть распределённым и в большей посылке. Но в этой посылке больший термин, будучи её предикатом, может быть распределённым только в том случае, если она отрицательна.
