Давайте вернемся к вопросу шансов игрока после рассмотрения серии (последовательности результатов одного вида). Игроки часто изобретают схемы пари, основанные на «инверсиях» или «сериях». После наблюдения последовательности с одним результатом – скажем, трех последовательных бросков монеты, упавшей орлом вверх, или трех последовательных вращений рулетки, при которых выпадает черное – они принимают особую стратегию заключения пари. Некоторые игроки делают вывод, что нехорошо ожидать еще одного орла после того, как два орла уже выпало. Они рассуждают, что, в конце концов, все знают, что три орла подряд – относительно редкое событие. Таким образом, они делают вывод, что орлы уже «израсходованы». Наоборот, другие игроки рассуждают, что игра «набирает обороты» и что вероятность выпадения орла при следующем броске выше обычного. Предполагая, что монета или рулетка являются правильными и симметричными, обе игровые системы бесполезны!

Тщетность систем «пришло время для перемены» и «игра набирает обороты» станет понятной, если вы проанализируете игру в подбрасывание монеты. Каждый бросок имеет два возможных результата: орел или решка. Когда выпадает орел, решка не может выпасть, и наоборот. Вероятность, или возможность, того, что симметричная монета будет падать орлом вверх, равна половине. Это означает, что, в конечном счете, вы ожидаете, что половина результатов будет орлами.

Вы должны помнить два момента:

1. Невозможно предсказать, какой результат будет при любом определенном броске.

2. После многих повторений, приблизительно половина результатов будет орлами, а половина – решками.

Рассмотрите четыре возможных результата двух последовательных подбрасываний монеты. Они обозначены следующим образом:

ОО, ОР, РО, РР

Здесь ОО означает, что монета приземлилась орлом при первом броске и также орлом при втором броске; ОР означает орла, за которым следовала решка; и так далее. Для двух последовательных бросков невозможны никакие другие комбинации орла и решки. Эта ситуация показана в Табл. 2.

Табл. 2 Четыре возможных результата двукратного подбрасывания монеты

Возникновение двух орлов подряд показано в заштрихованной области. Двойное выпадение орла – один из четырех возможных результатов. Теперь предположите, что, после того как выпало два орла, ваш друг говорит: «Держу пари, что у тебя не может выпасть еще один орел». Каковы ваши шансы?

В азартных играх типа рулетки, игры в кости или бросания монеты последовательные ходы называют независимыми событиями. Колесо рулетки, кости или монеты не имеют памяти. После двух бросков монета «не помнит», какая из четырех возможных последовательностей, показанных в Табл. 2, имела место. Ничто из того, что было раньше, не может повлиять на монету. Остается 50-процентный шанс того, что при следующем броске выпадет орел, и 50-процентный шанс того, что это будет решка. После двух орлов подряд вероятность того, что монета приземлится орлом вверх ничуть не больше и не меньше, чем она была при предыдущих бросках – это все еще пари с равными шансами. Знание того, что произошло в прошлом, бесполезно в предсказании следующего события.

Большинство игроков с трудом сопоставляет тот факт, что произошедшее в прошлом бесполезно, с другим фактом, что каждый знает, что три орла подряд – маловероятное событие. Чтобы разрешить это затруднение, давайте расширим Табл. 2 (которая показывает четыре возможных результата от двух бросков монеты), чтобы показать в Табл. 3 восемь возможных результатов от трех бросков монеты. Обратите внимание, что, если каждый из четырех возможных результатов, показанных в Табл. 2, может, в свою очередь, сопровождаться или орлом, или решкой, то бросание монеты три раза дает восемь возможных результатов.

Теперь мы можем разделить два вопроса, которые вместе образуют то, что известно как «заблуждение игрока». Во-первых, мы можем спросить, какова вероятность того, что выпадет три орла подряд. Три орла подряд – одна из восьми одинаково вероятных возможностей. Следовательно, вероятность трех орлов равна одному из восьми или 12,5 процентов. Вероятность «один из восьми» означает, что, если вы повторяете большое количество событий с тремя бросками монеты, вы ожидаете выпадения последовательности только из орлов приблизительно в течение одной восьмой всего времени.

Табл. 3 Восемь возможных результатов подбрасывания монеты три раза

Второй весьма отличный вопрос таков: «Какова вероятность выпадения орла после того, как два орла уже выпали? Разница между двумя этими вопросами очень тонкая и ускользала от некоторых игроков в течение многих лет. Вероятность выпадения орла после того, как только что выпало два орла, или любое число орлов, с симметричной монетой является неизменной – выпадение орла все еще является пари с шансами 50–50. Каждый последовательный бросок монеты статистически независим от каждого предыдущего броска. Как показывает Табл. 3, даже если два орла уже выпали, действительность такова, что два возможных результата являются одинаково вероятными и при следующем броске. Верно, что выпадение трех орлов подряд является необычным явлением (один шанс из восьми). Тем не менее, выпадение третьего орла после того, как два орла уже выпало, таковым не является (один шанс из двух).

Запомним: если события случайны, как при бросании монеты или при игре в рулетку, историческая информация не может использоваться, чтобы предсказать последующее событие. В последующих главах мы зададим следующий вопрос (и ответим на него): являются ли ежедневные изменения курсов акций случайными событиями? Если да, то модели исторических изменений цен не могут использоваться для предсказания величины или направления последующих движений цен.

Помимо случайности, или статистической независимости, инвесторам необходимо разбираться в двух важных понятиях – ожидаемые значения и дисперсия. По существу, эти понятия сводятся к знанию того, что можно ожидать, и знанию риска неполучения того, что вы ожидаете. Таким образом, риск может быть определен как непредсказуемость, или степень, до которой результаты не соответствуют ожиданиям. Это может быть проиллюстрировано посредством расширения нашего эксперимента с подбрасыванием монеты для получения сведений о риске и дисперсии.

Чтобы проиллюстрировать риск, или отклонения от ожиданий, результаты многих событий с тремя бросками монеты сведены в нижеприведенные таблицы. (Ясно, что я не бросал монеты тысячи раз, а моделировал эксперимент на компьютере). Как объяснялось ранее, мы ожидаем, что каждый из восьми возможных результатов события с тремя бросками произойдет с равной вероятностью (приблизительно в одном случае из восьми).

Результаты восьми экспериментов с подбрасыванием монеты показаны в Табл. 4. Обратите внимание, что некоторые из возможных результатов вообще не происходили! Также, заметьте, что один результат (РРР) имел место в два раза чаще, чем мы ожидали. Следует подчеркнуть, что только при восьми экспериментах с тремя бросками имеет место такая большая разница между ожидаемыми и фактическими результатами. В данном случае процентная разница между ожидаемыми и фактическими результатами составляла 200 процентов.

Табл. 4 Результаты последовательностей из трех бросков

К счастью, статистики понимают изменчивость таких результатов. Теория вероятностей говорит нам о том, что ожидать от случайных событий, так же как и о вероятных отклонениях от этих ожиданий. Она также говорит нам, что процентная разница между тем, что ожидается, и тем, что происходит фактически, имеет тенденцию уменьшаться, чем дольше мы играем.