Научный успех Архимеда почти полностью основан на используемой им методологии. В целом применяемые ученым методы можно разделить на две группы: первая направлена на поиск интересующего его решения (механический метод), а вторая — на доказательство верности полученного результата. В работах Архимеда часто встречаются цитаты из текстов Евклида и других более ранних математиков, то есть он приводит многие решения как само собой разумеющееся и для краткости говорит о них в своих трудах, словно они всем известны. Таким образом, мы видим математика, который работает с достойными доверия источниками и умеет извлекать из них материал, необходимый для его собственных исследований. В наши дни для любых доказательств мы используем алгебраический язык (формулы с буквами, цифрами и математическими символами), но в рассматриваемое нами время, когда жил Архимед, такого языка еще не существовало. Вот почему его тексты нелегки для современного читателя, ведь все его рассуждения основываются на чисто геометрических понятиях. Далее мы представим некоторые математические открытия Архимеда и постараемся реконструировать путь его мысли, хотя для этого нам и придется прибегать к языку алгебры.

Из книги «Метод механических теорем» можно понять, что Архимед не скрывал свои методы от научного сообщества того времени, как мы уже показывали на примере константинопольского палимпсеста. В частности, он отправил этот труд Эратосфену, решив, что в данном случае он попадет в хорошие руки и сможет послужить получению новых интересных результатов.

Несмотря на то что Герои цитирует эту книгу в своем трактате «Метрика», многие источники описывают Архимеда ученым, ревниво относившимся к своей работе и не склонным популяризировать свою методологию. К счастью, в 1906 году исследователь-эллинист Гейберг обнаружил «Метод» и другие труды ученого, содержащиеся в палимпсесте. На самом деле Архимед охотно обнародовал и свои открытия, и научные методы, приведшие к этим открытиям. Он даже побуждал Эратосфена воспользоваться его методикой, уверяя последнего, что «можно было бы использовать этот путь для того, чтобы достичь определенных научных результатов посредством механики».

[...] написав это, обнародовать данный метод потому, что я о нем уже раньше упоминал — а я не хочу, чтобы казалось, будто я занимался пустой болтовней, — а также и потому, что я убежден: он принесет немалую пользу для математики.

Из письма Архимеда Эратосфену в «Методе»

Таким образом, в данной работе Архимед объясняет собственный механический метод. Кроме механического метода трактат содержит и геометрический (метод исчерпывания), приписываемый Евдоксу. Механический метод здесь использован исключительно для приблизительного решения задач, которые требуют затем более строгого и убедительного доказательства геометрическими методами:

«[...] Ведь некоторые вещи, которые я сначала представлял механическим способом, затем были мной доказаны с помощью геометрии, [...] легче построить решение, уже имея определенные знания об исследуемых вещах, чем искать его без какого-либо начального знания».

После обращения к Эратосфену автор переходит к изложению 11 лемм, где содержится определение центра тяжести.

Здесь важно заметить, что он приводит как нечто само собой разумеющееся некоторые результаты из собственной работы «О равновесии плоских фигур». Трактат дошел до нас не полностью — из него сохранились 16 утверждений с некоторыми важными уточнениями. В первых 11 автор представляет механический метод сам по себе, а в остальных описывает весь процесс, включая последующее доказательство с помощью вышеупомянутого метода исчерпывания. Архимед затрагивает большое количество вопросов, которые он уже исследовал в предыдущих трудах: например, квадратура сегмента параболы — темы, изложенной в книге «О квадратуре параболы». Первое утверждение трактата, проиллюстрированное на рисунке на следующей странице, звучит так:

«Пусть АВС — сегмент, заключенный между отрезком прямой АС и параболой АВС; поделим АС напополам точкой D и проведем прямую DBE параллельно оси параболы, а также отрезки АВ, ВС. Я утверждаю, что сегмент параболы АВС по площади равен четырем третьим треугольника АВС». («Метод механических теорем», утверждение 1.)

С небольшим трактатом «Стомахион» произошло то же самое, что и с «Методом»: на протяжении истории было множество свидетельств его существования, но найден он был лишь в 1906 году с открытием константинопольского палимпсеста. В IV веке Авзоний и Марий Викторин говорили о Loculus Archimedius (шкатулке Архимеда) из 14 пластинок слоновой кости, которые вместе составляют квадрат. Все, что осталось от трактата,— это изложение способа деления квадрата на 14 частей (рисунок 1). Кроме того, там приводятся соотношения площадей фрагментов и полного квадрата. Не очень понятно, было ли это главным содержанием «Стомахиона»: хотя некоторые усматривают здесь начало комбинаторики, другие считают данное описание не более чем развлечением, чем-то вроде пазла или танграма.

РИС. 1

Если мы наложим фигуры из «Стомахиона» на квадрат стороной в 12 клеток, площадь каждой фигуры будет такой же, какой она обозначена на рисунке. Простой способ воспроизвести данные фигуры — взять листок бумаги в клеточку. Числа на фигурах обозначают их площадь.

Лишь в 2003 году удалось провести строгий комбинаторный анализ, который показал, что существуют 17152 способа сложить фигуры из «Стомахиона» в целый квадрат, и это если не принимать во внимание возможность их поворота или зеркального отражения (рисунок 2).

Перемещая фрагменты, можно не только составить квадрат, но и создавать веселые фигурки вроде этого слона.

Воспроизведение геометрического чертежа, которым воспользовался Архимед, чтобы выяснить соотношение площадей сегмента параболы и вписанного в него треугольника. Основой для данного решения служит механический метод.

В древнегреческой математике в какой-то момент начался серьезный кризис, связанный с так называемыми невыразимыми числами, которые не могут быть представлены отношением целого числа к натуральному. В настоящее время такие числа называются иррациональными. Такое их свойство вызвало большие проблемы при сравнении криволинейных и прямолинейных фигур. Это значит, что греки сталкивались с серьезными сложностями, если хотели вычислить площадь круга или иных фигур, ограниченных кривыми, а также и некоторые другие величины, например диагональ квадрата. Данная проблема была частично решена благодаря методу исчерпывания, который можно считать предшественником современного исчисления бесконечно малых величин и вычисления предела. Уже Евклид использовал его в некоторых построениях в своих «Началах», а Архимед применял его в течение всей своей математической карьеры. И именно он назвал автором этого метода Евдокса во вступлении к своему трактату «Метод механических теорем».

Невозможно найти во всей геометрии более сложные и более важные вопросы, изложенные столь простыми и столь понятными словами, как в теоремах, созданных божественным разумом Архимеда.